bạn Kiệt có đánh sai chỗ nào ko vậy :)). mình thấy có 1 lỗi :)).

Đặt \(a=2x+y;b=2y+x\) \(\left(a,b>0\right)\)

Khi đó : \(P=\frac{2}{\sqrt{a^3+1}-1}+\frac{2}{\sqrt{b^3+1}-1}+\frac{ab}{4}-\frac{8}{a+b}\)

Cô-si , ta có : \(\sqrt{a^3+1}=\sqrt{\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)}\le\frac{a+1+a^2-a+1}{2}=\frac{a^2+2}{2}\)

\(\Rightarrow\sqrt{a^3+1}-1\le\frac{a^2}{2}\)

Tương tự : \(\sqrt{b^3+1}-1\le\frac{b^2}{2}\)

Mặt khác : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Rightarrow\frac{2}{a}+\frac{2}{b}\ge\frac{8}{a+b}\Rightarrow-\frac{8}{a+b}\ge\frac{-2}{a}-\frac{2}{b}\)

\(P\ge\frac{4}{a^2}+\frac{4}{b^2}+\frac{ab}{4}-\frac{2}{a}-\frac{2}{b}=\left(\frac{4}{a^2}+1\right)+\left(\frac{4}{b^2}+1\right)+\frac{ab}{4}-\frac{2}{a}-\frac{2}{b}-2\)

\(\ge\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{ab}{4}-\frac{2}{a}-\frac{2}{b}-2=\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{ab}{4}-2\ge3\sqrt[3]{\frac{2}{a}.\frac{2}{b}.\frac{ab}{4}}-2=1\)

Vậy GTNN của P là 1 \(\Leftrightarrow a=b=2\Leftrightarrow x=y=\frac{2}{3}\)

Mình nghĩ đề sửa là:

Cho các số x,y nguyên. Tìm GTM của biểu thức

\(P=\frac{2}{\sqrt{\left(2x+y\right)^3+1}-1}+\frac{2}{\sqrt{\left(x+2y\right)^3+1}-1}+\frac{\left(2x+y\right)\left(x+2y\right)}{4}-\frac{8}{3\left(x+y\right)}\)

Cách làm giống @Thanh Tùng DZ@ nên không trình bày lại

đổi k ko,mk hứa sẽ k lại(nếu ko làm chó!!!!!!!!!!!!!)

Bài 1: <Cho là câu a đi>:

a. \(\frac{1}{2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{x\left(x+1\right)}=\frac{49}{50}\) 

\(\rightarrow\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{x\left(x+1\right)}=\frac{49}{50}\) 

\(\rightarrow1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}=\frac{49}{50}\) 

\(\rightarrow1-\frac{1}{x+1}=\frac{49}{50}\) 

\(\rightarrow\frac{1}{x+1}=1-\frac{49}{50}=\frac{1}{50}\) 

\(\rightarrow x+1=50\rightarrow x=49\) 

Vậy x = 49.

Tìm x, y nguyên dương để :  \(\frac{1}{x}+\frac{y}{2}=\frac{5}{8}\)

Ta có :  \(\frac{1}{x}+\frac{y}{2}=\frac{5}{8}\)  =>   \(\frac{5}{8}-\frac{y}{2}=\frac{1}{x}\)

=>    \(\frac{5-4y}{8}=\frac{1}{x}\)       =>     \(\left(5-4y\right)x=8\)

=> 5 - 4y; x là ước của 8

Ta có bảng :

Vì x,y nguyên dương => x = 8 ; y = 1

Vậy x = 8; y = 1 là 2 giá trị cần tìm

Study well ! >_<

Bài 3: 

a: \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x-3=0\\\dfrac{3}{4}x+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{3}{2}\\x=-\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\)

b: \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x+2>0\\\dfrac{2}{3}x-5< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow-\dfrac{2}{3}< x< \dfrac{15}{2}\)

c: \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{3}{4}x+2=0\\\dfrac{2}{5}x-6=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\cdot\dfrac{3}{4}=-2\\\dfrac{2}{5}x=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{8}{3}\\x=6:\dfrac{2}{5}=15\end{matrix}\right.\)

1a) \(\left|\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}\right|=\left|4x-1\right|\)

=> \(\orbr{\begin{cases}\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}=4x-1\\\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}=1-4x\end{cases}}\)

=> \(\orbr{\begin{cases}-\frac{5}{2}x=-\frac{3}{2}\\\frac{11}{2}x=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

=> \(\orbr{\begin{cases}x=\frac{5}{3}\\x=\frac{1}{11}\end{cases}}\)

b) \(\left|\frac{5}{4}x-\frac{7}{2}\right|-\left|\frac{5}{8}x+\frac{3}{5}\right|=0\)

=>\(\left|\frac{5}{4}x-\frac{7}{2}\right|=\left|\frac{5}{8}x+\frac{3}{5}\right|\)

=> \(\orbr{\begin{cases}\frac{5}{4}x-\frac{7}{2}=\frac{5}{8}x+\frac{3}{5}\\\frac{5}{4}x-\frac{7}{2}=-\frac{5}{8}x-\frac{3}{5}\end{cases}}\)

=> \(\orbr{\begin{cases}\frac{5}{8}x=\frac{41}{10}\\\frac{15}{8}x=\frac{29}{10}\end{cases}}\)

=> \(\orbr{\begin{cases}x=\frac{164}{25}\\x=\frac{116}{75}\end{cases}}\)

c) TT

a, \(\left|\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}\right|=\left|4x-1\right|\)

=> \(\orbr{\begin{cases}\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}=4x-1\\-\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}=4x-1\end{cases}}\)

=> \(\orbr{\begin{cases}\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}-4x=-1\\-\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}-4x=-1\end{cases}}\)

=> \(\orbr{\begin{cases}x=\frac{3}{5}\\x=\frac{1}{11}\end{cases}}\)

\(b,\left|\frac{5}{4}x-\frac{7}{2}\right|-\left|\frac{5}{8}x+\frac{3}{5}\right|=0\)

=> \(\left|\frac{5}{4}x-\frac{7}{2}\right|-0=\left|\frac{5}{8}x+\frac{3}{5}\right|\)

=> \(\frac{\left|5x-14\right|}{4}=\frac{\left|25x+24\right|}{40}\)

=> \(\frac{10(\left|5x-14\right|)}{40}=\frac{\left|25x+24\right|}{40}\)

=> \(\left|50x-140\right|=\left|25x+24\right|\)

=> \(\orbr{\begin{cases}50x-140=25x+24\\-50x+140=25x+24\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{164}{25}\\x=\frac{116}{75}\end{cases}}\)

c, \(\left|\frac{7}{5}x+\frac{2}{3}\right|=\left|\frac{4}{3}x-\frac{1}{4}\right|\)

=> \(\orbr{\begin{cases}\frac{7}{5}x+\frac{2}{3}=\frac{4}{3}x-\frac{1}{4}\\-\frac{7}{5}x-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}x-\frac{1}{4}\end{cases}}\)

=> \(\orbr{\begin{cases}x=-\frac{55}{4}\\x=-\frac{25}{164}\end{cases}}\)

Bài 2 : a. |2x - 5| = x + 1

 TH1 : 2x - 5 = x + 1

    => 2x - 5 - x = 1

    => 2x - x - 5 = 1

    => 2x - x = 6

    => x = 6

TH2 : -2x + 5 = x + 1

   => -2x + 5 - x = 1

   => -2x - x + 5 = 1

   => -3x = -4

   => x = 4/3

Ba bài còn lại tương tự

cho mình

Khai  triển nó ra,ta có:

\(1+y^2=y^2+xy+yz+zx=\left(y+x\right)\left(y+z\right)\)

\(1+x^2=xy+yz+zx+x^2=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)

\(1+z^2=xy+yz+zx+z^2=\left(z+x\right)\left(z+y\right)\)

Ta có:\(P=\Sigma x\sqrt{\frac{\left(y+x\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(z+y\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)

\(\Sigma x\cdot\left(y+z\right)\)

Rút gọn dc như vậy rồi chị làm nốt ạ

zZz Cool Kid zZz ghê zữ nhen:D

a) ĐK: \(x\ge-2\) (chắc vậy:D)

Chú ý x = -2 không phải là một nghiệm. Xét x > -2

PT \(\Leftrightarrow2\left(x^2-10x-12\right)+20x+40=5\sqrt{2x^3+16}\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2-10x-12\right)+5\left[\left(4x+8\right)-\sqrt{2x^3+16}\right]=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2-10x-12\right)-\frac{10\left(x+2\right)\left(x^2-10x-12\right)}{4x+8+\sqrt{2x^3+16}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-10x-12\right)\left[2-\frac{10\left(x+2\right)}{4x+8+\sqrt{2x^3+16}}\right]=0\)

Xét cái ngoặc to: \(=\frac{2\left[\sqrt{2x^3+16}-\left(x+2\right)\right]}{4x+8+\sqrt{2x^3+16}}\)

\(=\frac{\frac{2\left(x+2\right)\left(2x^2-5x+6\right)}{\sqrt{2x^3+16}+x+2}}{4x+8+\sqrt{2x^3+16}}>0\forall x>-2\)

Do đó\(x^2-10x-12=0\Rightarrow...\)

b) Nghiệm quá xấu -> Chịu.

P/s: Em ko chắc đâu á, nhất là chỗ xét x> -2 ấy, ko biết có được ko? Với cả xử lý cái ngoặc to em ko chắc là mình nhầm chỗ nào đâu đấy nhá!

a/ \(5\sqrt{2x^3+16}=2\left(x^2+8\right)\)

\(\Leftrightarrow25\left(2x^3+16\right)=4\left(x^2+8\right)\)

\(\Leftrightarrow2x^4-50x^3+32x^2-72=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-10x-12\right)\left(2x^2-5x+6\right)=0\)

Dễ thấy \(2x^2-5x+6>0\)

\(\Rightarrow x^2-10x-12=0\)

B1:

Vì \(\hept{\begin{cases}\left|x-\frac{1}{2}\right|\ge0\\\left|2y-\frac{1}{3}\right|\ge0\\\left|4z+5\right|\ge0\end{cases}\left(\forall x,y,z\right)}\Rightarrow\left|x-\frac{1}{2}\right|+\left|2y-\frac{1}{3}\right|+\left|4z+5\right|\ge0\left(\forall x,y,z\right)\)

Mà theo đề bài, \(\left|x-\frac{1}{2}\right|+\left|2y-\frac{1}{3}\right|+\left|4z+5\right|\le0\) nên dấu "=" xảy ra khi:

\(\left|x-\frac{1}{2}\right|=\left|2y-\frac{1}{3}\right|=\left|4z+5\right|=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\y=\frac{1}{6}\\z=-\frac{5}{4}\end{cases}}\)

B2:

a) Nếu \(x< 1\) => \(A=1-x+x+3=4\)

Nếu \(x\ge1\) => \(A=x-1+x+3=2x+2\)

b) Nếu \(x< -\frac{3}{2}\) => \(B=2x+2x+3=4x+3\)

Nếu \(x\ge-\frac{3}{2}\) => \(B=2x-2x-3=-3\)

Bài 1.

Ta có \(\hept{\begin{cases}\left|x-\frac{1}{2}\right|\ge0\forall x\\\left|2y-\frac{1}{3}\right|\ge0\forall y\\\left|4z+5\right|\ge0\forall z\end{cases}}\Rightarrow\left|x-\frac{1}{2}\right|+\left|2y-\frac{1}{3}\right|+\left|4z+5\right|\ge0\forall x,y,z\)

Kết hợp với đề bài => Chỉ xảy ra trường hợp \(\left|x-\frac{1}{2}\right|+\left|2y-\frac{1}{3}\right|+\left|4z+5\right|=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-\frac{1}{2}=0\\2y-\frac{1}{3}=0\\4z+5=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\y=\frac{1}{6}\\z=-\frac{5}{4}\end{cases}}\)

Bài 2.

A = | x - 1 | + x + 3

Với x < 1 => A = -( x - 1 ) + x + 3 = -x + 1 + x + 3 = 4

Với x ≥ 1 => A = ( x - 1 ) + x + 3 = x - 1 + x + 3 = 2x + 2

B = 2x - | 2x + 3 |

Với x < -3/2 => B = 2x - -( 2x + 3 ) = 2x + ( 2x + 3 ) = 2x + 2x + 3 = 4x + 3 

Với x ≥ -3/2 => B = 2x + -( 2x + 3 ) = 2x - ( 2x + 3 ) = 2x - 2x - 3 = -3