a) Ta có: \(\overrightarrow u  = ({x_1};{y_1}),\;\overrightarrow v  = ({x_2};{y_2}),\;\overrightarrow w  = ({x_3};{y_3}).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow v  + \overrightarrow w  = ({x_2};{y_2}) + ({x_3};{y_3}) = \left( {{x_2} + {x_3};{y_2} + {y_3}} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow u .\left( {\overrightarrow v  + \overrightarrow w } \right) = {x_1}.\left( {{x_2} + {x_3}} \right) + {y_1}.\left( {{y_2} + {y_3}} \right)\end{array}\)

Và: \(\;\overrightarrow u .\overrightarrow v  + \overrightarrow u .\overrightarrow w  = \left( {{x_1}.{x_2} + {y_1}.{y_2}} \right) + \left( {{x_1}.{x_3} + {y_1}.{y_3}} \right)\)\( = {x_1}.{x_2} + {y_1}.{y_2} + {x_1}.{x_3} + {y_1}.{y_3}.\)

b) Vì \({x_1}.{x_2} + {y_1}.{y_2} + {x_1}.{x_3} + {y_1}.{y_3}\)\( = \left( {{x_1}.{x_2} + {x_1}.{x_3}} \right) + \left( {{y_1}.{y_2} + {y_1}.{y_3}} \right)\)\( = {x_1}.\left( {{x_2} + {x_3}} \right) + {y_1}.\left( {{y_2} + {y_3}} \right)\)

Nên \(\overrightarrow u .\left( {\overrightarrow v  + \overrightarrow w } \right) = \;\overrightarrow u .\overrightarrow v  + \overrightarrow u .\overrightarrow w \)

c) Ta có: \(\overrightarrow u  = ({x_1};{y_1}),\;\overrightarrow v  = ({x_2};{y_2})\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u .\overrightarrow v  = {x_1}.{x_2} + {y_1}.{y_2}\\\overrightarrow v .\overrightarrow u  = {x_2}.{x_1} + {y_2}.{y_1}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \;\overrightarrow u .\overrightarrow v  = \overrightarrow v .\overrightarrow u \)

Ta có \(\left\{{}\begin{matrix}\left(2x_1-3y_1\right)^{2004}\ge0\\......\\\left(2x_{2005}-3y_{2005}\right)^{2004}\ge0\end{matrix}\right.\) \(\forall x_1;x_2...x_{2005};y_1;y_2;...y_{2005}\)

Mà theo đề cho \(\left(2x_1-3y_1\right)^{2004}+...+\left(2x_{2005}-3y_{2005}\right)^{2004}\le0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(2x_1-3y_1\right)^{2004}=0\\\left(2x_2-3y_2\right)^{2004}=0\\.........\\\left(2x_{2005}-3y_{2005}\right)^{2004}=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x_1-3y_1=0\\2x_2-3y_2=0\\........\\2x_{2005}-3y_{2005}=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{3}{2}y_1\\x_2=\dfrac{3}{2}y_2\\.....\\x_{2005}=\dfrac{3}{2}y_{2005}\end{matrix}\right.\)

Từ đó ta có:

\(\dfrac{x_1+x_2+...+x_{2005}}{y_1+y_2+...+y_{2005}}=\dfrac{\dfrac{3}{2}y_1+\dfrac{3}{2}y_2+...+\dfrac{3}{2}y_{2005}}{y_1+y_2+...+y_{2005}}\)

\(=\dfrac{\dfrac{3}{2}\left(y_1+y_2+...+y_{2005}\right)}{y_1+y_2+...+y_{2005}}=\dfrac{3}{2}=1.5\) (đpcm)

Ghi lại đề đi bạn, nhìn qua dấu các biểu thức là biết bạn ghi sai đề rồi

tr..... k biết.

CÓ : (x1 + 2y1)^2  lớn hơn hoặc = 0 với mọi x,y

         ( 2x2 + 4y2)^2 lơn hơn hoặc = 0 với mọi x,y

       .......  

      ( 100x100 + 200y100 ) ^2 luôn lớn hơn hoặc = 0 với mọi x,y

=> (x1 + 2y1)^2 + (2x2+4y2)^2 +... + ( 100x100 + 200y100)^2 lớn hơn hoặc = 0 với mọi x,y

mà theo đề bài ta có ( x1 + 2y1)^2 + ( 2x2 + 4y2)^2 +.....+(100x100+200y100) ^2

nhỏ hơn hoặc =0

=> (x1+2y1)^2 + .........(100x100+ 200y100)^2=0

=>(x1+2y1)^2=0

   tương tự đến(100x100 + 200y100)^2=0

từ đó bạn giải tiếp

1/2 

Kiến thức cơ bản :v 

GT : \(\left(x_1a-y_1b\right)^{2n}+\left(x_2a-y_2b\right)^{2n}+\left(x_3a+y_3b\right)^{2n}+...+\left(x_ma-y_mb\right)^{2n}\le0\)

Có : \(\left(x_1a-y_1b\right)^{2n}+\left(x_2a-y_2b\right)^{2n}+\left(x_3a-y_3b\right)^{2n}+...+\left(x_ma-y_mb\right)^{2n}\ge0\)

\(\Rightarrow\)\(x_1a-y_1b=x_2a-y_2b=x_3a-y_3b=...=x_ma-y_mb=0\)

\(\Rightarrow\)\(x_1a=y_1b\)\(;\)\(x_2a=y_2b\)\(;\)\(x_3a=y_3b\)\(;\)\(...\)\(;\)\(x_ma=y_mb\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{x_1}{y_2}=\frac{x_2}{y_2}=\frac{x_3}{y_3}=...=\frac{x_m}{y_m}=\frac{b}{a}\) \(\left(1\right)\)

Tính chất dãy tỉ số bằng nhau : 

\(\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}=\frac{x_3}{y_3}=...=\frac{x_m}{y_m}=\frac{x_1+x_2+x_3+...+x_m}{y_1+y_2+y_3+...+y_m}=\frac{b}{a}\) ( đpcm ) 

Phùng Minh Quân:tại sao dòng thứ hai lại đổi dấu \(\le\rightarrow\ge\)?

Chết, lúc đó hỏi ngu-_-

u ở mẫu là cái gì vậy ?

Chàng Trai 2_k_7             

bor did

Vì \(\left(2x_1-3y_1\right)^{2016}\ge0;\left(2x_2-3y_2\right)^2\ge0;......;\left(2x_{2015}-3y_{2015}\right)\ge0\)

nên  \(\left(2x_1-3y_1\right)^{2016}+\left(2x_2-3y_2\right)^{2016}+...+\left(2x_{2015}-3y_{2015}\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x_1-3y_1\right)^{2016}+\left(2x_2-3y_2\right)^{2016}+..+\left(2x_{2015}-3y_{2015}\right)^{2016}=0\)

\(\Leftrightarrow2x_1-3y_1=0;2x_2-3y_2=0;....;2x_{2015}-3y_{2015}=0\)

\(\Leftrightarrow2x_1=3y_1\)           

     \(2x_2=3y_2\)

    ............................

    \(2x_{2015}=3y_{2015}\)

\(\Leftrightarrow2\left(x_1+x_2+...+x_{2015}\right)=3\left(y_1+y_2+...+y_{2015}\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x_1+x_2+x_3+...+x_{2015}}{y_1+y_2+y_3+...+y_{2015}}=\frac{3}{2}\)