Theo hệ thức Vi ét ta có: x1 + x2 = \(-\frac{b}{a}\) = \(\frac{3}{2}\) Và x1.x2 = \(\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\)

a) \(\) \(\frac{1}{\text{x1}}+\frac{1}{x2}=\frac{x1+x2}{x1.x2}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}=\frac{3}{1}=3\)

b)\(\frac{1-x1}{x1}+\frac{1-x2}{x2}=\frac{\left(1-x1\right)x2+\left(1-x2\right)x1}{x1.x2}=\frac{x2-x1.x2+x1-x1.x2}{x1.x2}=\frac{\left(x1+x2\right)-2x1.x2}{x1.x2}=\frac{\frac{3}{2}-\frac{2.1}{2}}{\frac{1}{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=1\)

c) \(\frac{x1}{x2+1}+\frac{x2}{x1+1}=\frac{x1^2+x1+x2^2+x2}{x1.x2+x1+x2+1}=\frac{\left(x1^2+2x1.x2+x2^2\right)+\left(x1+x2\right)-2x1.x2}{x1.x2+\left(x1+x2\right)+1}=\frac{\left(x1+x2\right)^2+\left(x1+x2\right)-2x1.x2}{x1.x2+\left(x1+x2\right)+1}=\frac{\frac{3^2}{2^2}+\frac{3}{2}-\frac{2.1}{2}}{\frac{1}{2}+\frac{3}{2}+1}=\frac{11}{12}\)

có \(\Delta'=\left[-\left(m-1\right)\right]^2-m^2+m+5\)

\(\Delta'=m^2-2m+1-m^2+m+5\)

\(\Delta'=-m+6\)

để pt (1) có 2 nghiệm \(x_1;x_2\) \(\Leftrightarrow-m+6>0\)

\(\Leftrightarrow m< 6\)

theo định lí \(Vi-et\) \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m-2\\x_1.x_2=m^2-m-5\end{cases}}\)

theo bài ra \(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}+\frac{10}{3}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1.x_2}+\frac{10}{3}=0\)   ( \(x_1.x_2\ne0\Leftrightarrow m^2-m-5\ne0\))

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1.x_2}{x_1.x_2}=\frac{-10}{3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(2m-2\right)^2-2.\left(m^2-m-5\right)}{m^2-m-5}=-\frac{10}{3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{4m^2-8m+4-2m^2+2m+10}{m^2-m-5}=\frac{-10}{3}\)

\(\Leftrightarrow\left(2m^2-6m+14\right).3=-10.\left(m^2-m-5\right)\)

\(\Leftrightarrow6.\left(m^2-3m+7\right)=-10.\left(m^2-m-5\right)\)

\(\Leftrightarrow-3m^2+9m-21=5m^2-5m-25\)

\(\Leftrightarrow-3m^2+9m-21-5m^2+5m+25=0\)

\(\Leftrightarrow-8m^2+14m+4=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-7m-2=0\)  \(\left(2\right)\)

từ PT (2) có \(\Delta=\left(-7\right)^2-4.4.\left(-2\right)=49+32=81>0\Rightarrow\sqrt{\Delta}=9\)

vì \(\Delta>0\) nên PT có 2 nghiệm phân biệt 

\(m_1=\frac{7-9}{8}=\frac{-1}{4}\)  ( TM ĐK 

\(m_2=\frac{7+9}{8}=2\)                                  \(m< 6\)và \(m^2-m-5\ne0\)) 

Bài này bạn áp dụng vi-ét là ra ngay nha !

Chúc bạn học tốt !

Ta có : \(x^2+\left(m^2+1\right)x+m=2\)

\(\Leftrightarrow x^2+\left(m^2+1\right)x+m-2=0\left(a=1;b=m^2+1;c=m-2\right)\)

a, Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì \(\Delta>0\)hay 

\(\left(m^2+1\right)^2-4\left(-2\right)=m^4+1+8=m^4+9>0\) (hoàn toàn đúng, ez =)) 

b, Áp dụng hệ thức Vi et ta có : \(x_1+x_2=-m^2-1;x_1x_2=m-2\)

Đặt \(x_1;x_2\)lần lượt là \(a;b\)( cho viết dễ hơn )

Theo bài ra ta có \(\frac{2a-1}{b}+\frac{2b-1}{a}=ab+\frac{55}{ab}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2a^2-a}{ab}+\frac{2b^2-b}{ab}=\frac{\left(ab\right)^2}{ab}+\frac{55}{ab}\)

Khử mẫu \(2a^2-a+2b^2-b=\left(ab\right)^2+55\)

Tự lm nốt vì I chưa thuộc hđt mà lm )): 

a,\(x^2+\left(m^2+1\right)x+m=2\)

\(< =>x^2+\left(m^2+1\right)x+m-2=0\)

Xét \(\Delta=\left(m^2+1\right)^2-4.\left(m-2\right)=1+m^4-4m+8\)(đề sai à bạn)

b,Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt : \(\Delta>0\)

\(< =>\left(m^2+1\right)^2-4\left(m-2\right)>0\)

\(< =>4m-8< m^4+1\)

\(< =>4m-9< m^4\)

\(< =>m>\sqrt[4]{4m-9}\)

Ta có : \(\frac{2x_1-1}{x_2}+\frac{2x_2-1}{x_1}=x_1x_2+\frac{55}{x_1x_2}\)

\(< =>\frac{2x_1^2-x_1+2x_2^2-x_2}{x_1x_2}=\frac{\left(x_1x_2\right)^2+55}{x_1x_2}\)

\(< =>2\left[\left(x_1+x_2\right)\left(x_1-x_2\right)\right]-\left(x_1+x_2\right)=\left(x_1x_2\right)^2+55\)

đến đây dễ rồi ha 

Xét pt:\(x^2-x\left(m-1\right)-2=0\)

Có \(\Delta=\left(m-1\right)^2+8>0\)

Theo hệ thức vi-ét ta có:\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m-1\\x_1x_2=-2\end{matrix}\right.\)

Đặt \(A=\frac{x_1^2-2}{x_1-1}\cdot\frac{x_2^2-2}{x_2-1}\)

\(A=\frac{\left(x_1^2+x_1x_2\right)\left(x_2^2+x_1x_2\right)}{\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)}\)

\(A=\frac{-2\left(m-1\right)^2}{-m}=\frac{2\left(m-1\right)^2}{m}\)

A=4\(\Leftrightarrow\frac{2\left(m-1\right)^2}{m}=4\)

\(\Leftrightarrow m^2-4m+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2+\sqrt{3}\\m=2-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)