TK: Tìm Min (x^4 + 1) (y^4 + 1) với x + y = căn10 ; x , y > 0 - Thanh Truc

\(A=\left|x-3\right|+\left|y+3\right|+2016\)

\(\left|x-3\right|\ge0\)

\(\left|y+3\right|\ge0\)

\(\Rightarrow\left|x-3\right|+\left|y+3\right|+2016\ge2016\)

Dấu ''='' xảy ra khi \(x-3=y+3=0\)

\(x=3;y=-3\)

\(MinA=2016\Leftrightarrow x=3;y=-3\)

\(\left(x-10\right)+\left(2x-6\right)=8\)

\(x-10+2x-6=8\)

\(3x=8+10+6\)

\(3x=24\)

\(x=\frac{24}{3}\)

x = 8

Bài này làm phức tạp nên để khi khác làm

ta có x+y=\(\sqrt{10}\)=>(x+y)^2=10

=x^4.y^4+1+x^4+y^4+2x^2.y^2-2x^2.y^2

=x^4.y^4+1+(x^2+y^2)^2-2x^y^2=x^4.y^4+1+[(x+y)^2-2xy]

=x^4.y^4+1+(10-2xy)-2x^2.y^2

=x^4.y^4+1+100-40xy+4.x^2.y^2-2x^2.y^2

=x^4.y^4+101-40xy+2.x^2.y^2

=(x^4.y^4-8.x^2.y^2+16)+(10.x^2.y^2-40xy+40)+45

=(x^2.y^2-4)^2+10.(xy-2)^2+45\(\ge\)0

dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=\sqrt{10}\\x.y=2\end{matrix}\right.\)

vậy Min A=45

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=\sqrt{10}\\x.y=2\end{matrix}\right.\)là nghiệm pt x^2-\(\sqrt{10}\)x+2

=>\(\Delta\)=(-\(\sqrt{10}\))^2-4.2=2>0

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\\y=\dfrac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\)hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\\y=\dfrac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\)

ta có x+y==>(x+y)^2=10

=x^4.y^4+1+x^4+y^4+2x^2.y^2-2x^2.y^2

=x^4.y^4+1+(x^2+y^2)^2-2x^y^2=x^4.y^4+1+[(x+y)^2-2xy]

=x^4.y^4+1+(10-2xy)-2x^2.y^2

=x^4.y^4+1+100-40xy+4.x^2.y^2-2x^2.y^2

=x^4.y^4+101-40xy+2.x^2.y^2

=(x^4.y^4-8.x^2.y^2+16)+(10.x^2.y^2-40xy+40)+45

=(x^2.y^2-4)^2+10.(xy-2)^2+45

dấu = xảy ra {x+y=√10x.y=2{x+y=10x.y=2

vậy Min A=45

Vì |x-y| ≥0 với mọi x,y;|x+1|≥0 vs mọi x=>A≥2016 vs mọi x,y

=> A đạt giá trị nhỏ nhất khi:{

⇔{

⇔{

vậy với x=y=-1 thì S đạt giá trị nhỏ nhất là 2016

\(S=\left|x+2\right|+\left|2y-10\right|+2016\)

\(S\ge2016\forall x;y\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+2=0\\2y-10=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-2\\y=5\end{cases}}}\)

\(P=\left(x^4+1\right)\left(y^4+1\right)=x^4y^4+x^4+y^4+1\)

Ta có \(x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy=10-2xy\)

\(\Rightarrow x^4+y^4=\left(x^2+y^2\right)^2-2x^2y^2=\left(10-2xy\right)^2-2x^2y^2=100-40xy+2x^2y^2\)

\(\Rightarrow P=\left(xy\right)^4+101-40xy+2x^2y^2\)

\(=\left[\left(xy\right)^4-8\left(xy\right)^2+16\right]+10\left[\left(xy\right)^2-4xy+4\right]+45\)

\(=\left(x^2y^2-4\right)^2+10\left(xy-2\right)^2+45\)

\(\Rightarrow P\ge45\)

Dấu "=" xảy ra khi xy=2

Lại có \(x+y=\sqrt{10}\)

\(\Rightarrow x=\sqrt{10}-y\Rightarrow xy=\sqrt{10}y-y^2=2\)

\(\Rightarrow y^2-\sqrt{10y}+2=0\)

Ta có \(\Delta=10-8=2\)

\(\Rightarrow y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow x=\frac{4}{\sqrt{10}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 45 khi \(\hept{\begin{cases}x=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\\y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\end{cases}}\)

Bài này nhiều bạn đăng rồi, vô lục câu hỏi của CTV Lê Tài Bảo Châu đó, kéo xuống là thấy.

cảm ơn bạn

Anh tth trước chỉ em SOS kiểu này nè:)

\(\left(x^4+1\right)\left(y^4+1\right)\)

\(=x^4+y^4+x^4y^4+1\)

\(=\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]^2-2x^2y^2+x^4y^4+1\)

\(=\left(10-2xy\right)^2-2x^2y^2+x^4y^4+1\)

\(=x^4y^4+2x^2y^2-40xy+101\)

\(=\left(x^2y^2-4\right)^2+10\left(xy-2\right)^2+45\ge45\)

Dấu "=" xảy ra tại \(x=-\frac{5}{\sqrt{2}};y=-\frac{5}{2\sqrt{2}}\)

Chắc anh tth bày ko sai đâu !

refer

Hai đồ thị \(y=\left(3m+2\right)x+5\) và \(y=-x-1\) cắt nhau

\(\Rightarrow3m+2\ne-1\Rightarrow m\ne-1\)

Khi đó ta có giao điểm 2 đồ thị là \(A=\left(x;y\right)=\left(x;-x-1\right)\)

\(P=y^2+2x-2019=\left(-x-1\right)^2+2x-2019=x^2+4x-2018\\ =\left(x+2\right)^2-2022\ge-2022\)

Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow x+2=0\Leftrightarrow x=-2\Leftrightarrow y=1\)

\(\Rightarrow1=\left(3m+2\right)\left(-2\right)+5\Rightarrow-6m=0\Rightarrow m=0\left(TM\right)\)