Áp dụng công thức trọng tâm:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_C=3x_G-x_A-x_B=-3\\y_C=3y_G-y_A-y_B=-4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(-3;-4\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{CA}=\left(4;5\right)\) ; \(\overrightarrow{AB}=\left(1;2\right)\)

Đường cao d đi qua B vuông góc AC nên nhận \(\overrightarrow{CA}=\left(4;5\right)\) là 1 vtpt

Phương trình d: 

\(4\left(x-2\right)+5\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow4x+5y-23=0\)

Đường cao d1 đi qua C vuông góc AB nên nhận (1;2) là 1 vtpt

Phương trình d1:

\(1\left(x+3\right)+2\left(y+4\right)=0\Leftrightarrow x+2y+11=0\)

H là giao điểm d và d1 nên tọa độ thỏa mãn:

\(\left\{{}\begin{matrix}4x+5y-23=0\\x+2y+11=0\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{101}{3}\\y=-\dfrac{67}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow H\left(\dfrac{101}{3};-\dfrac{67}{3}\right)\)

Do C thuộc trục Oy nên tọa độ có dạng \(C\left(0;c\right)\)

Áp dụng công thức trọng tâm:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}=\dfrac{4}{3}\\y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}=\dfrac{c-2}{3}\end{matrix}\right.\)

Do G thuộc Ox \(\Rightarrow y_G=0\Rightarrow\dfrac{c-2}{3}=0\Rightarrow c=2\)

\(\Rightarrow C\left(0;2\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x_G=\dfrac{-1+\left(-2\right)+4}{3}=\dfrac{1}{3}\\y_G=\dfrac{1+3+\left(-5\right)}{3}=-\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

VẼ DF VUÔNG GÓC VỚI AB, EG VUÔNG GÓC VỚI AC

BD = CE => S_ABC = S_ACE  => AB.DF = AC.EG => DF/EG = AC/AB   (1)

TAM GIÁC ADF ĐỒNG DẠNG VỚI TAM GIÁC AEG => DF/EG = AD/AE (2)

TỪ (1) VÀ (2) => AC/AB = AD/AE, CHO TA  TAM GIÁC ABE ĐỒNG DẠNG VỚI TAM GIÁC ACD

=> GÓC  ABE = GÓC ACD => TAM GIÁC ABC CÂN (đpcm)

tự vẽ hình

Giúp

Tam giác ABC đều nên AB = AC = BC.

G là trọng tâm tam giác ABC nên AD, BE, CF là các đường trung tuyến trong tam giác.

Suy ra: AF = BF = AE = CE = BD = CD.

Xét tam giác ADB và tam giác ADC có:

     AB = AC (tam giác ABC đều);

     AD chung

     BD = CD (D là trung điểm của đoạn thẳng BC).

Vậy \(\Delta ADB = \Delta ADC\)(c.c.c) nên \(\widehat {ADB} = \widehat {ADC}\) ( 2 góc tương ứng).

Mà ba điểm B, D, C thẳng hàng nên \(\widehat {ADB} = \widehat {ADC} = 90^\circ \)hay \(AD \bot BC\). (1)

Tương tự ta có:

\(\widehat {AEB} = \widehat {CEB} = 90^\circ \) hay\(BE \bot AC\). (2)

\(\widehat {AFC} = \widehat {BFC} = 90^\circ \) hay\(CF \bot AB\). (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra G là giao điểm của ba đường cao AD, BE, CF.

Vậy G cũng là trực tâm của tam giác ABC.

ta gọi AH,AK là 2 đường trung tuyến của tam giác ABM và AMC

ta có D,G,N lần lượt là trọng tâm tam giác ABM,ABC,AM

=> \(\frac{AD}{AH}=\frac{AG}{AM}=\frac{AN}{AK}=\frac{2}{3}\) (tính chất trọng tâm)

=> DG//BC(đingj lí ta lét) và GN//BC(định lí ta lét )

=> D,G,N thẳng hàng(ĐPCM)

bạn ơi xem lại đề đi sao M lại là trọng tâm của tam giác AMB?

đếch nói đấy làm sao làm gì được nhau