\(\frac{x^2+y^2+z^2}{3}\ge\frac{x+y+z}{3}\)
chứng minh bất đẳng thức trên
*vế bên phải là để trong ngoặc và bình phương nhé
Giải bài toán sau bằng phương pháp chứng minh phản chứng: “Chứng minh rằng với mọi x, y, z bất kì thì các bất đẳng thức sau không đồng thời xảy ra x < y − z ; y < z − x ; z < x − y ”
Một học sinh đã lập luận tuần tự như sau:
(I) Giả định các đẳng thức xảy ra đồng thời.
(II) Thế thì nâng lên bình phương hai vế các bất đẳng thức, chuyển vế phải sang vế trái, rồi phân tích, ta được:
(x – y + z)(x + y – z) < 0
(y – z + x)(y + z – x) < 0
(z – x + y)(z + x – y) < 0
(III) Sau đó, nhân vế theo vế ta thu được:(x – y + z ) 2 (x + y – z)(-x + y + z) < 0 (vô lí)
Lý luận trên, nếu sai thì sai từ giai đoan nào?
A. (I)
B. (II)
C. (III)
D. Lý luận đúng
cho các số thực dương x,y,x thỏa mãn xy ≥ 1 và z ≥1
Chứng minh bất đẳng thức \(\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}+\frac{z^3+2}{3\left(xy+1\right)}\ge\frac{3}{2}\)
cho các số x,y,z thỏa mãn \(x\ge y\ge z>0\). chứng minh bất đẳng thức: \(\frac{x^2-y^2}{z}+\frac{z^2-y^2}{x}+\frac{x^2-z^2}{y}\ge3x-4y+z\)
Chứng minh bất đẳng thức sau với x,y,z dương \(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\)
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) ta có:
\(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}\)
\(\ge\frac{9}{x+y+y+z+x+z}=\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
chứng minh bất đẳng thức
\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)
Đề phải cho x,y,z ; a,b,c >0 chứ bạn ơi
Xét A = (a^2/x + b^2/y + c^2/z) . (x+y+z) = [(a/\(\sqrt{x}\))^2+(b/\(\sqrt{y}\))^2+(c/\(\sqrt{z}\))^2 . (\(\sqrt{x}\)2 + \(\sqrt{y}\)2 + \(\sqrt{z}\)2)
Áp dụng bđt bunhiacopxki ta có :
A >= (a/\(\sqrt{x}\).\(\sqrt{x}\)+b/\(\sqrt{y}\).\(\sqrt{y}\)+c/\(\sqrt{z}\).\(\sqrt{z}\))^2 = (a+b+c)^2
=> a^2/x + b^2/y + c^2/z >= (a+b+c)^2/x+y+z
=> ĐPCM
k mk nha
Nhầm chỗ \(\sqrt{z}\)2 nha . đó là \(\sqrt{z}\)2
k mk nha
\(\frac{x^4+y^4}{2}+\frac{y^4+z^4}{2}+\frac{z^4+x^4}{2}\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\)
Chứng minh hằng đẳng thức trên
Hằng đẳng thức ???
Áp dụng BĐT \(x^2+y^2\ge2xy\) ta có:
\(\frac{x^4+y^4}{2}\ge\frac{\left(x^2\right)^2+\left(y^2\right)^2}{2}\ge\frac{2x^2y^2}{2}=x^2y^2\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại cũng có;
\(\frac{y^4+z^4}{2}\ge y^2z^2;\frac{z^4+x^4}{2}\ge x^2z^2\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT=\frac{x^4+y^4}{2}+\frac{y^4+z^4}{2}+\frac{z^4+x^4}{2}\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=VP\)
Khi \(x=y=z\)
Áp dụng bđt Cô si cho 2 số không âm, ta có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{x^4+y^4}{2}\ge\sqrt{x^4y^4}=x^2y^2\\\frac{y^4+z^4}{2}\ge\sqrt{y^4z^4}=y^2z^2\\\frac{z^4+x^4}{2}\ge\sqrt{z^4x^4}=z^2x^2\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{x^4+y^4}{2}+\frac{y^4+z^4}{2}+\frac{z^4+x^4}{2}\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\)
quốc huy khìn hử, đề có cho số dương hay ko âm đâu mà Cô si
ta có:(vế phải)2\(\le3\left(\frac{x^3}{y+z}+\frac{y^3}{z+x}+\frac{z^3}{x+y}\right)\)
cần chứng minh:
(vế trái)2/3\(\ge\frac{x^3}{y+z}+\frac{y^3}{z+x}+\frac{z^3}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{y+z}\left(\frac{x^3+\frac{1}{3}}{y+z}-x^2\right)+...\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{y+z}\left(x-y\right)\left(x-z\right)+\frac{y^2}{z+x}\left(y-x\right)\left(y-z\right)+\frac{z^2}{x+y}\left(z-x\right)\left(z-y\right)\ge0\)
bđt luôn đúng vì là bđt schur mở rộng
Chứng minh bất đẳng thức sau:\(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{x+z}+\dfrac{z}{x+y}\ge\dfrac{3}{2}\)
\(BĐT\Leftrightarrow\left(\dfrac{x}{y+z}+1\right)+\left(\dfrac{y}{x+z}+1\right)+\left(\dfrac{z}{x+y}+1\right)\ge\dfrac{3}{2}+3=\dfrac{9}{2}\\ \Leftrightarrow\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)\ge9\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy:
\(\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\ge3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\)
Nhân vế theo vế 2 BĐT ta được
\(\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)\ge3\cdot3\sqrt[3]{1}=9\)
Do đó \(\left(1\right)\) luôn đúng
Vậy ta được đpcm
Phải có thêm dữ kiện x,y,z > 0 nữa nhé.
Áp dụng BĐT C - S dạng Engel, ta có:
Cycma(x/(y + z)) = cycma(x^2/(xy + xz)) >= cycma(x)^2/(2cycma(xy)) >= cycma(x)^2/((2cycma(x)^2)/3) = 3/2 (đpcm)
đây là BĐT Nesbit cho 3 số thực dương nên thiếu điều kiện x,y,z\(\in R\)*
chứng minh bất đẳng thức \(\frac{x^3+y^3+z^3}{3}\ge\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^3\)
ai làm nhanh nhất sẽ được tick nha !
thôi xài Holder
\(\Rightarrow9\left(x^3+y^3+z^3\right)\ge\left(x+y+z\right)^3\)
\(\Rightarrow\frac{x^3+y^3+z^3}{3}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^3}{27}=\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^3\)
->Đpcm
Dấu = khi x=y=z