B1 : 

Áp dụng bđt cosi ta có : a^2/b+c + b+c/4 >= \(2\sqrt{\frac{a^2}{b+c}.\frac{b+c}{4}}\) = 2. a/2 = a

Tương tự b^2/c+a + c+a/4 >= b

c^2/a+b + a+b/4 >= c

=> VT + a+b+c/2 >= a+b+c

=> VT >= a+b+c/2 = VP 

=> ĐPCM

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c > 0

k mk nha

B3 mk tìm đc cách giải r nhưng bạn nào muốn thì trả lời cg đc

Các bạn giải giúp mình B2 và B5 nhé. Mấy bài kia mình giải được rồi.

Bài 1:

\(\frac{2}{x^2+2y^2+3}=\frac{2}{\left(x^2+y^2\right)+\left(y^2+1\right)+2}\le\frac{2}{2xy+2y+2}=\frac{1}{xy+y+1}\)

Bài 2:

\(A=\frac{4}{4x^2+9y^2}+\frac{4}{12xy}+\frac{52}{2x.3y}\ge\frac{16}{4x^2+9y^2+12xy}+\frac{52.4}{\left(2x+3y\right)^2}\)

\(A\ge\frac{16}{\left(2x+3y\right)^2}+\frac{208}{\left(2x+3y\right)^2}=\frac{224}{\left(2x+3y\right)^2}\ge\frac{224}{4}=56\)

\(A_{min}=56\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{1}{2}\\y=\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

Bài 1:

Sửa đề: CMR \(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\)

Xét hiệu:

\(x^3+y^3-(x^2y+xy^2)=(x^3-x^2y)-(xy^2-y^3)\)

\(=x^2(x-y)-y^2(x-y)\)

\(=(x^2-y^2)(x-y)=(x+y)(x-y)(x-y)=(x+y)(x-y)^2\)

Vì \(x+y\geq 0, (x-y)^2\geq 0\) với mọi $x,y$ không âm

\(\Rightarrow x^3+y^3-(x^2y+xy^2)=(x-y)^2(x+y)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3\geq x^2y+xy^2\)

Ta có đpcm.

Bài 2:
$111(x-2)$ không nhỏ hơn $1998$, nghĩa là:

\(111(x-2)\geq 1998\)

\(\Leftrightarrow x-2\geq \frac{1998}{111}=18\)

\(\Leftrightarrow x\geq 20\)

Vậy với mọi giá trị $x\in\mathbb{R}$, $x\geq 20$ thì ta có điều cần thỏa mãn.

Bài 3:

\(\frac{a-b}{b}=\frac{a-2b+b}{b}=\frac{a-2b}{b}+\frac{b}{b}=\frac{a-2b}{b}+1\)

Vì \(a,b>0; a>2b\Rightarrow a-2b>0; b>0\Rightarrow \frac{a-2b}{b}>0\)

Do đó:

\(\frac{a-b}{b}=\frac{a-2b}{b}+1>1\)

Ta có đpcm.

\(3-P=1-\frac{x}{x+1}+1-\frac{y}{y+1}+1-\frac{z}{z+1}\)

\(=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\ge\frac{9}{x+y+z+3}=\frac{9}{1+3}=\frac{9}{4}\)

\(\Rightarrow P\le\frac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

2/\(LHS\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{ca}+\sqrt[3]{ab}}\)

\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+\frac{1+b+c}{3}+\frac{1+c+a}{3}+\frac{1+a+b}{3}}=\frac{3}{2}\)

Bài 1 : 

\(P=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\)

Thay \(x+y+z=1\)vào biểu thức 

\(\Rightarrow P=\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{x+2y+z}+\frac{z}{x+y+2z}\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\forall a,b>0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x}{2x+y+z}=\frac{x}{x+y+x+z}\le\frac{x}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)\\\frac{y}{x+2y+z}=\frac{y}{x+y+y+z}\le\frac{y}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\right)\\\frac{z}{x+y+2z}=\frac{z}{x+z+y+z}\le\frac{z}{4}\left(\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{x}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)+\frac{y}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\right)\)

\(+\frac{z}{4}\left(\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\right)\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{x}{4\left(x+y\right)}+\frac{y}{4\left(x+y\right)}+\frac{x}{4\left(x+z\right)}+\frac{z}{4\left(x+z\right)}+\frac{y}{4\left(y+z\right)}\)

\(+\frac{z}{4\left(y+z\right)}\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{x+y}{4\left(x+y\right)}+\frac{x+z}{4\left(x+z\right)}+\frac{y+z}{4\left(y+z\right)}\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow P\le\frac{3}{4}\)

Vậy \(P_{max}=\frac{3}{4}\)

Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z\)

Chúc bạn học tốt !!!