Question

a, Chứng minh rằng với mọi x,y > 0 ta có: \(\frac{2}{x^2+2y^2+3}\) ≤ \(\frac{1}{xy+y+1}\)

b, Cho 3 số dương a,b,c với abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = \(\frac{1}{a^2+2b^2+3}\) + \(\frac{1}{b^2+2c^2+3}\) + \(\frac{1}{c^2+2a^2+3}\)

Answer 1

\(\frac{2}{x^2+2y^2+3}\le\frac{1}{xy+x+1}\)

\(\Leftrightarrow x^2+2y^2+3\ge2xy+2y+2\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2y+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\)

Vì bđt cuối luôn đúng mà các phép biến đổi trên là tương đương nên bđt ban đầu luôn đúng

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y\\y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=1\)

Answer 2

Ta có : \(\frac{1}{a^2+2b^2+3}=\frac{1}{a^2+b^2+b^2+1+2}\le\frac{1}{2ab+2b+2}\) ( AD BĐT Cô si cho a ; b dương ) ( 1 )

Tương tự : \(\frac{1}{b^2+2c^2+3}\le\frac{1}{2bc+2c+2};\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2ac+2a+2}\left(2\right)\)

Từ ( 1 ) ; ( 2 ) \(\Rightarrow P\le\frac{1}{2ab+2b+2}+\frac{1}{2bc+2c+2}+\frac{1}{2ac+2a+2}\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ac+a+1}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{b+1+ab}+\frac{b}{1+ab+b}\right)\left(abc=1\right)\)

\(=\frac{1}{2}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)