Đặt \(a=\frac{x+y}{2};b=\frac{y+z}{2};c=\frac{z+x}{2}\)

Thì \(\Rightarrow a+b+c=\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}=\frac{x+y+y+z+z+x}{2}=\)\(x+y+z=1\)

Bất đẳng thức đã tương đương với \(x+2y+z\ge4\left(x+y\right).\left(y+z\right).\left(z+x\right)\)

\(\Rightarrow a+b\ge16abc\)

Ta có: \(\left(a+b\right).\left(a+b+c\right)^2\ge4\left(a+b\right).4c\left(a+b\right)\ge16abc\left(đpcm\right).\)

cảm ơn bn

Ta có:

\(x\ge0,y\ge0,z\ge0\) và \(x+y+z=1\)

\(\Rightarrow0\le y\le1\)

Ta lại có:

\(4\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)=4\left(y+z\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\)

Aps dụng BĐT: \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

Ta được: \(4\left(y+z\right)\left(1-z\right)\le\left(1+y\right)^2\)

Nên: \(4\left(y+z\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\le\left(1+y\right)^2\left(1-y\right)\)

\(\Rightarrow4\left(y+z\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\le\left(1+y\right)\left(1-y\right)^2\)

Mà \(\left(1-y\right)^2\le1\Rightarrow4\left(y+z\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\le1+y\)

\(\Rightarrow4\left(y+z\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\le x+y+z+y\)

\(\Rightarrow4\left(y+z\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\le x+2y+z\left(đpcm\right)\)

CMR a+2b+c >= 4(1-a)(1-b)(1-c) - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

bạn có thể giải giúp mình bài toán nay ko. giúp mình nha

bạn giải ra cho mình đc ko

Không mất tính tổng quát giả sử \(z=min\left(x;y;z\right)\)

Từ giả thiết x+y+z=3 => \(3z\le x+y+z\)Do đó \(0\le z\le1\)

Đặt x=1+a; y=1+b; c=1-a-b. Do 0 =<c=<1 nên 0 =< a+b =< 1

Ta có \(\left(x-1\right)^3+\left(y-1\right)^3+\left(z-1\right)^3=a^3+b^3+\left(-a-b\right)^3=-3ab\left(a+b\right)\)

Mặt khác \(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\Rightarrow ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)

\(\Rightarrow ab\left(a+b\right)\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\le\frac{1}{4}\left(0\le a+b\le1\right)\)

\(\Rightarrow-3ab\left(a+b\right)\ge\frac{-3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

Khi đó \(x=y=\frac{3}{2};z=0\)

Áp dụng bất đẳng thức\(\left(a+b\right)^2>=4ab\)

Ta có

2P=(2x+4y+6z)(6x+3y+2z) <= (8(x+y+z)-y)^2/4 <= ((8-y)^2)/4 <= (8^2)/4= 16

Dấu "=" xảy ra khi x=1/2; y=0;z=1/2

Do đó max P=8 khi x=1/2;y=0;z=1/2

\(\dfrac{1}{2x+1}+\dfrac{\left(\dfrac{1}{3}\right)^2}{1}\ge\dfrac{\left(1+\dfrac{1}{3}\right)^2}{2x+1+1}=\dfrac{8}{9}\left(\dfrac{1}{x+1}\right)\)

Tương tự: \(\dfrac{1}{2y+1}+\dfrac{1}{9}\ge\dfrac{8}{9}.\dfrac{1}{y+1}\) ; \(\dfrac{1}{2z+1}+\dfrac{1}{9}\ge\dfrac{8}{9}.\dfrac{1}{z+1}\)

Cộng vế:

\(VT+\dfrac{1}{3}\ge\dfrac{8}{9}\left(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}\right)\ge\dfrac{4}{3}\)

\(\Rightarrow VT\ge1\)

Thay $x=\sqrt{\frac{1}{2,5}}; y=z=\sqrt{\frac{1}{0,25}}$ ta thấy đề sai bạn nhé!

Biểu thức này không có giá trị cụ thể. Bạn xem lại đề.