a, ΔABD có BA = BD (gt) và ˆABDABD^ = ˆABCABC^ = 

⇒ ΔABD đều (đpcm)

b, ΔABD đều ⇒ AB = AD

Xét ΔAHB và ΔAHD có:

AH chung; AB = AD (cmt); HB = HD (H là trung điểm của BD)

⇒ ΔAHB = ΔAHD (c.c.c)

⇒ ˆAHBAHB^ = ˆAHDAHD^ mà 2 góc này kề bù

⇒ ˆAHBAHB^ = ˆAHDAHD^ = 

⇒ AH ⊥ BD (đpcm)

c, ΔABD đều ⇒ AB  = BD = AD = 2cm

⇒ HB = HD = 1cm

⇒ HC = BC - HB = 5 - 1 = 4cm

ΔAHB vuông tại H ⇒ AH =  =  = cm

ΔAHC vuông tại H ⇒ AC =  =  = cm

a) Xét ΔBAD có BA=BD(gt)

nên ΔBAD cân tại B(Định nghĩa tam giác cân)

Xét ΔBAD cân tại B có \(\widehat{ABD}=60^0\)(gt)

nên ΔBAD đều(Dấu hiệu nhận biết tam giác đều)

b) Ta có: ΔBAD đều(cmt)

mà AH là đường trung tuyến ứng với cạnh BD(gt)

nên AH là đường cao ứng với cạnh BD(Định lí tam giác cân)

hay AH\(\perp\)BD(Đpcm)

a: AC=căn 5^2-3^2=4cm

AB<AC<BC

=>góc C<góc B<góc A

b: xét ΔBAM vuông tại A và ΔBDM vuông tại D có

BM chung

BA=BD

=>ΔBAM=ΔBDM

=>MA=MD

Xét ΔMAN vuông tại A và ΔMDC vuông tại D có

MA=MD

góc AMN=góc DMC

=>ΔMAN=ΔMDC

=>MN=MC

=>ΔMCN cân tại M

a: \(AC=\sqrt{5^2-3^2}=4\left(cm\right)\)

Xét ΔABC có AB<AC<BC

nên \(\widehat{C}< \widehat{B}< \widehat{A}\)

b: Xét ΔBAM vuông tại A và ΔBDM vuông tại D có

BA=BD

BM chung

Do đó: ΔBAM=ΔBDM

Suy ra: MA=MD

Xét ΔAMN vuông tại A và ΔDMC vuông tại D có

MA=MD

\(\widehat{AMN}=\widehat{DMC}\)

Do đó: ΔAMN=ΔDMC

Suy ra: MN=MC

hay ΔMNC cân tại M

Để chứng minh các phần a), b), c), và d), chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và các đường cao của tam giác.

a) Chứng minh tam giác ABD đều:

Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A và góc B = 60 độ, nên góc A = 90 - 60 = 30 độ.

Vì AH vuông BA và H là trung điểm của BD, nên AH cũng là đường cao của tam giác ABD.

Do đó, tam giác ABD có 1 cạnh là đường cao và 2 cạnh bằng nhau (AH = HD), nên tam giác ABD là tam giác đều.

b) Chứng minh D là trung điểm của BC:

Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A và góc B = 60 độ, nên góc A = 90 - 60 = 30 độ.

Vì AH vuông BA và H là trung điểm của BD, nên AH cũng là đường cao của tam giác ABD.

Do đó, tam giác ABD có 1 cạnh là đường cao và 2 cạnh bằng nhau (AH = HD), nên tam giác ABD là tam giác đều.

Vì tam giác ABD là tam giác đều, nên AD = BD.

Vì H là trung điểm của BD, nên AH = HD.

Vì AH vuông BA, nên tam giác AHB là tam giác vuông cân.

Vì góc AHB = 90 độ và góc A = 30 độ, nên góc HAB = 60 - 30 = 30 độ.

Vì góc HAB = góc AHB = 30 độ, nên tam giác AHB là tam giác đều.

Vì tam giác AHB là tam giác đều, nên BH = AB.

Vì BH = AB và AH = HD, nên tam giác BHD là tam giác đều.

Vì tam giác BHD là tam giác đều, nên BD = HD.

Vì AD = BD và BD = HD, nên AD = HD.

Vì H là trung điểm của BD, nên AD = HD = DH.

Vì AD = DH, nên D là trung điểm của AH.

Vì AH là đường cao của tam giác ABC, nên D là trung điểm của BC.

c) Chứng minh HE song song AB:

Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A và góc B = 60 độ, nên góc A = 90 - 60 = 30 độ.

Vì AH vuông BA và H là trung điểm của BD, nên AH cũng là đường cao của tam giác ABD.

Vì tam giác ABD là tam giác đều, nên góc ADB = 60 độ.

Vì góc ADB = góc ABD = 60 độ, nên tam giác ADB là tam giác cân.

Vì tam giác ADB là tam giác cân, nên AH là đường trung tuyến của tam giác ADB.

Vì H là trung điểm của BD, nên HE song song với đường trung tuyến AH.

Vì AH vuông BA, nên HE song song AB.

a) Ta có:

BA=BD ⇒△BAD cân tại B có \(\widehat{B}=60^0\)

⇒△BAD đều (đpcm)

b)△BAD đều (câu a)

⇒AB=AD

Xét △AHB và △AHD có:

AH chung

AB=AD (cmt)

HB=HD (gt)

⇒ △AHB=△AHD (ccc)⇒\(\widehat{AHB}=\widehat{AHD}=90^0\Rightarrow AH\text{⊥}BD\)(đpcm)

c)Áp dụng định lý Pytago vào △AHB vuông tại H, ta có:

\(AB^2=AH^2+HB^2\Rightarrow2^2=AH^2+1^2\Rightarrow4=AH^2+1\Rightarrow AH^2=3\Rightarrow AH=\sqrt{3}\left(AH>0\right)\)

Áp dụng định lý Pytago vào △AHC vuông tại H, ta có:

\(AC^2=AH^2+HC^2\Rightarrow AC^2=\left(\sqrt{3}\right)^2+4^2\Rightarrow AC^2=3+16=19\Rightarrow AC=\sqrt{19}\left(AH>0\right)\)

d)Ta có:

\(AB^2+AC^2=2^2+\left(\sqrt{19}\right)^2=4+19=23\) \(\ne BC^2=5^2=25\)

nên △ABC không phải là tam giác vuông

⇒\(\widehat{BAC}< 90^{0^{ }}\)(23 cm<25cm)

Ta có hình vẽ sau:

a) \(\widehat{AHB}\) = \(\widehat{DHB}\) = \(\frac{180^o}{2}\) = 90^o (2 góc kề bù)

Xét ΔABH và ΔDBH có:

BH là cạnh chung

\(\widehat{AHB}\) = \(\widehat{DHB}\) = 90^o (cm trên)

AH = DH (gt)

=> ΔABH = ΔDBH (c.g.c) (đpcm)

b) Vì ΔABH = ΔDBH (ý a)

=> \(\widehat{B_1}\) = \(\widehat{B_2}\) ( 2 góc tương ứng)

= BC là tia phân giác của \(\widehat{ABD}\) (đpcm)

c) Vì ΔABH = ΔDBH => AB = DB (2 cạnh tương ứng)

Xét ΔABC và ΔDBC có:

BC là cạnh chung

\(\widehat{B_1}\) = \(\widehat{B_2}\) (ý b)

AB = DB (cm tên)

=> ΔABC = ΔDBC(c.g.c)

=> \(\widehat{BAC}\) = \(\widehat{BDC}\) (2 góc tương ứng) (đpcm)

d) Vì ΔABH = ΔDBH (ý a)

=> AB = DB => \(\frac{1}{2}\)AB = \(\frac{1}{2}\)DB

=> NB = ND = \(\frac{1}{2}\)DB

=> N là trung điểm của BD(đpcm)

câu a) có nhầm ko z bn?