a: AC vuông góc SO

AC vuông góc BD

=>AC vuông góc (SBD)

b: SO vuông góc (ABC)

=>SO vuông góc (ABCD)

=>(SAC) vuông góc (ABCD)

a: AC vuông góc SO

AC vuông góc BD

=>AC vuông góc (SBD)

b: SO vuông góc (ABC)

=>SO vuông góc (ABCD)

=>(SAC) vuông góc (ABCD)

1. Lớp 8 chưa học tứ giác nội tiếp nên có thể CM như sau:

Xét tam giác $KAB$ và $KCH$ có:

$\widehat{K}$ chung

$\widehat{KBA}=\widehat{KHC}=90^0$

$\Rightarrow \triangle KAB\sim \triangle KCH$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{KA}{KC}=\frac{KB}{KH}\Rightarrow KA.KH=KB.KC$ 

Xét tam giác $KAC$ có $AB,CH$ là 2 đường cao giao nhau tại $M$ nên $M$ là trực tâm tam giác $KAC$

$\Rightarrow KM\perp AC$. Mà $AC\perp BD$ nên $KM\parallel BD$.

2.

$OE\parallel DC$ nên theo định lý Talet:

$\frac{OF}{FC}=\frac{OE}{DC}$

Mà $OE=OC$ (như bạn Phan Linh Nhi đã cm) nên $\frac{OF}{FC}=\frac{OC}{DC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ (do $ODC$ là tam giác vuông cân tại $O$)

Bạn ấy làm đúng rồi em nhé. Phần 1, 2 em có thể tham khảo cách ngắn gọn hơn ở dưới.

a) Để tính BFD, ta có thể sử dụng tính chất của các tam giác vuông. Vì BF và FD là hai cạnh vuông góc với nhau, nên ta có thể sử dụng định lý Pythagoras để tính độ dài cạnh BD. Sau đó, ta sẽ tính tỉ lệ giữa cạnh BF và cạnh BD để tìm độ dài cạnh BFD.

b) Để chứng minh FC là phần giác của BPD, ta có thể sử dụng các định lý về góc và đường thẳng. Ta cần chứng minh rằng góc FCB bằng góc BPD. Để làm điều này, ta có thể sử dụng các định lý về góc đồng quy và góc nội tiếp.

c) Để chứng minh ST vuông góc với CF, ta có thể sử dụng các định lý về góc và đường thẳng. Ta cần chứng minh rằng góc STF bằng góc CFB. Để làm điều này, ta có thể sử dụng các định lý về góc đồng quy và góc nội tiếp.

+) Vì ABCD là hình thang nên: CD // AB ⇒ CD// mp(SAB).

- Kẻ DH ⊥ SA.

+) Ta có:

- Từ (1) và (2) suy ra:

- Trong tam giác vuông SAD ta có:

c.

Từ câu b ta có AICD là hình vuông \(\Rightarrow CI\perp AB\)

Mà \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp CI\)

\(\Rightarrow CI\perp\left(SAB\right)\)

Lại có \(CI\in\left(SCI\right)\Rightarrow\left(SCI\right)\perp\left(SAB\right)\)

d.

I là trung điểm AB \(\Rightarrow CI\) là trung tuyến ứng với AB

Lại có \(CI=AD=a\) (AICD là hình vuông) \(\Rightarrow CI=\dfrac{1}{2}AB\)

\(\Rightarrow\Delta ACB\) vuông tại C

\(\Rightarrow BC\perp AC\) (1)

Mà \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BC\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAC\right)\)

\(BC\in\left(SBC\right)\Rightarrow\left(SBC\right)\perp\left(SAC\right)\)

a.

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp CD\\CD\perp AD\left(gt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow CD\perp\left(SAD\right)\)

Mà \(CD=\left(SCD\right)\cap\left(ABCD\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{SDA}\) là góc giữa (SCD) và (ABCD)

\(tan\widehat{SDA}=\dfrac{SA}{AD}=\sqrt{3}\Rightarrow\widehat{SDA}=60^0\)

b.

Gọi E là giao điểm AC và DI

I là trung điểm AB \(\Rightarrow AI=\dfrac{1}{2}AB=a\Rightarrow AI=DC\)

\(\Rightarrow AICD\) là hình bình hành

Mà \(\widehat{A}=90^0\Rightarrow AICD\) là hình chữ nhật

\(AI=AD=a\) (hai cạnh kề bằng nhau) \(\Rightarrow AICD\) là hình vuông

 \(\Rightarrow AC\perp DI\) tại E

Lại có \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp DI\Rightarrow DI\perp\left(SAE\right)\)

Mà \(DI=\left(SDI\right)\cap\left(ABCD\right)\Rightarrow\widehat{SEA}\) là góc giữa (SDI) và (ABCD)

\(AE=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}\sqrt{AD^2+CD^2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow tan\widehat{SEA}=\dfrac{SA}{AE}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\Rightarrow\widehat{SEA}\approx50^046'\)