Ta có : x² - 2x - 3m² = 0 

Tại m = 1 thì pt trở thành : 

x² - 2x - 3.1² = 0 

<=> x² - 2x - 3 = 0 

<=> x² - 3x + x - 3= 0 

<=> x(x - 3) + (x - 3) = 0 

<=> (x - 3)(x + 1) = 0 

<=> \(\orbr{\begin{cases}x-3=0\\x+1=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\\x=-1\end{cases}}}\)

ĐK: \(x\ne\pm1\)

\(\dfrac{x^2+mx+2}{x^2-1}=1\)

\(\Leftrightarrow x^2+mx+2=x^2-1\)

\(\Leftrightarrow mx=-3\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(\left[{}\begin{matrix}m=0\\-\dfrac{3}{m}=\pm1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=\pm3\end{matrix}\right.\)

Vậy \(m=0;m=\pm3\Rightarrow A\)

TH1: \(m=2\)

\(pt\Leftrightarrow-4x+5=0\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{4}\)

\(\Rightarrow m=2\) không thỏa mãn yêu cầu bài toán

TH2: \(m\ne2\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=m^2-\left(m-2\right)\left(m+3\right)>0\\\dfrac{2m}{m-2}>0\\\dfrac{m+3}{m-2}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6-m>0\\\dfrac{2m}{m-2}>0\\\dfrac{m+3}{m-2}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m< -3\\2< m< 6\end{matrix}\right.\)

Vậy \(m\in\left(-\infty;-3\right)\cup\left(2;6\right)\)

a) Để phương trình có nghiệm kép thì \(\Delta=0\)

<=> \(m^2-4=0\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}m=2\\m=-2\end{cases}}\)

+) Với m = 2 thì phương trình có nghiệm kép là   (-1)

+) Với m = -2 thì phương trình có nghiệm kép là  (1)

b) Có : \(\Delta=b^2-4ac=9-4.2.\left(-5\right)=49>0\)

Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt (x₁;x₂) là (5/2;-1) 

Trường hợp 1: m=0

=>-3<0(luôn đúng)

=>Nhận

Trường hợp 2: m<>0

\(\text{Δ}=\left(2m\right)^2-4\cdot m\cdot\left(-3\right)=4m^2+12m=4m\left(m+3\right)\)

Để phương trình có nghiệm đúng thì \(\left\{{}\begin{matrix}4m\left(m+3\right)< 0\\m< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow-3< m< 0\)

Vậy: -3<m<=0

\(-1\le sinx\le1\) nên pt có nghiệm khi và chỉ khi:

\(-1\le m+2\le1\)

\(\Rightarrow-3\le m\le-1\)

Có vô số giá trị thực của m để pt có nghiệm

Có 3 giá trị nguyên của m để pt có nghiệm

\(x^2+\left(m-2\right)x-8=0\)

\(\Delta=b^2-4ac=\left(m-2\right)^2-4.1.\left(-8\right)=\left(m-2\right)^2+32\)

Vì \(\left(m-2\right)^2\ge0\forall m\)

\(\Rightarrow\left(m-2\right)^2+32\ge32>0\forall m\)

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Theo định lí vi-ét ta có:\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=\frac{-b}{a}=2-m\\x_1x_2=\frac{c}{a}=-8\end{cases}}\Rightarrow x_2=\frac{-8}{x_1}\)

Theo bài ra ta có:\(A=\left(x_1^2-1\right)\left(x_2^2-4\right)=\left(x_1^2-1\right)\left(\frac{64}{x_1^2}-4\right)=68-4\left(x_1^2+\frac{16}{x_1^2}\right)\le68-4.8=36\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(x_1=\pm2\)

+Với  \(x_1=2\Rightarrow m=4\)

+Với \(x_1=-2\Rightarrow m=0\)

Vậy \(A=\left(x_1^2-1\right)\left(x_2^2-4\right)\)đạt GTLN là 36 \(\Leftrightarrow m=0;m=4\)