1: \(\Leftrightarrow a^5-a^4b+b^5-ab^4>=0\)

\(\Leftrightarrow a^4\left(a-b\right)-b^4\left(a-b\right)>=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\cdot\left(a+b\right)\cdot\left(a^2+b^2\right)>=0\)(luôn đúng khi a,b dương)

\(A=\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}}>\sqrt{n}\left(1\right)\)

Với \(n=2\), BĐT \(\left(1\right)\) trở thành \(\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}>\sqrt{2}\) (đúng)

Giả sử \(\left(1\right)\) đúng với \(n=k\), nghĩa là \(\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{k}}>\sqrt{k}\left(2\right)\)

Ta chứng minh \(\left(1\right)\) đúng với \(n=k+1\). Thật vậy, từ \(\left(2\right)\) suy ra:

\(\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{k}}+\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}>\sqrt{k}+\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\)

Vì \(\sqrt{k}+\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}=\dfrac{\sqrt{k\left(k+1\right)}+1}{\sqrt{k+1}}>\sqrt{k+1}\)

Nên \(\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{k}}+\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}>\sqrt{k+1}\)

Tức là \(\left(1\right)\) đúng với \(n=k+1\).

Theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số tự nhiên \(n>1\)

- Với \(n=0\) thỏa mãn

- Giả sử BĐT đúng với \(n=k\) hay \(2^k\ge k+1\)

Ta cần chứng minh nó cũng đúng với \(n=k+1\) hay \(2^{k+1}\ge k+2\)

Thật vậy, ta có: \(2^{k+1}=2.2^k\ge2\left(k+1\right)=2k+2\ge k+2\) với mọi k tự nhiên (đpcm)