b: Vì (d1)//(d3) nên a=1

hay (d1): y=x+b

Thay x=2 và y=3 vào (d1), ta được:

b+2=3

hay b=1

1.

\(a,\Leftrightarrow2m-1+m-2=6\Leftrightarrow3m=9\Leftrightarrow m=3\\ b,2x+3y-5=0\Leftrightarrow3y=-2x+5\Leftrightarrow y=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{5}{3}\)

Để \(\left(d\right)\text{//}y=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{5}{3}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2m-1=-\dfrac{2}{3}\\m-2\ne\dfrac{5}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=\dfrac{1}{6}\\m\ne\dfrac{11}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{6}\)

\(c,x+2y+1=0\Leftrightarrow2y=-x-1\Leftrightarrow y=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}\\ \left(d\right)\bot y=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\left(-\dfrac{1}{2}\right)\left(2m-1\right)=-1\\ \Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\left(2m-1\right)=1\Leftrightarrow m-\dfrac{1}{2}=1\Leftrightarrow m=\dfrac{3}{2}\)

2.

Gọi điểm cố định đó là \(A\left(x_0;y_0\right)\)

\(\Leftrightarrow y_0=\left(2m-1\right)x_0+m-2\\ \Leftrightarrow2mx_0+m-x_0-2-y_0=0\\ \Leftrightarrow m\left(2x_0+1\right)-\left(x_0+y_0+2\right)=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x_0=-1\\x_0+y_0+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=-\dfrac{1}{2}\\y_0=-\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

a) Ta có: \(\Delta=\left(-1\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-2m-10\right)\)

\(=1+4\left(2m+10\right)\)

\(=8m+41\)

Để phương trình (1) có nghiệm thì \(8m+41\ge0\)

hay \(m\ge-\dfrac{41}{8}\)

a: (d1); y=4mx-(m+5)

=m(4x-1)-5

Điểm mà (d1) luôn đi qua có tọa độ là:

4x-1=0 và y=-5

=>x=1/4 và y=-5

(d2): \(y=\left(3m^2+1\right)x+m^2-4\)

=3m^2x+3x+m^2-4

=m^2(3x+1)+3x-4

ĐIểm mà (d2) luôn đi qua có tọa độ là:

3x+1=0 và y=3x-4

=>x=-1/3 và y=-1-4=-5

b: A(1/4;-5); B(-1/3;-5)

\(AB=\sqrt{\left(-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\right)^2+\left(-5+5\right)^2}=\dfrac{7}{12}\)

c: Để hai đường song song thì

\(\left\{{}\begin{matrix}3m^2+1=4m\\m^2-4+m+5< >0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m-1\right)\left(3m-1\right)=0\\m^2+m+1< >0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

a: Để hai đồ thị song song thì m=2

b: Để hai đồ thị vuông góc thì 2m=-1

hay \(m=-\dfrac{1}{2}\)

Lời giải:

a. Gọi $I(x_0,y_0)$ là điểm cố định mà $(d)$ luôn đi qua. Ta có:

$y_0=(m+1)x_0-m+2, \forall m$

$m(x_0-1)+(x_0+2-y_0)=0, \forall m$

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_0-1=0\\ x_0+2-y_0=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_0=1\\ y_0=3\end{matrix}\right.\)

Vậy $I(1,3)$ là điểm cố định mà $d$ luôn đi qua với mọi $m$

b. 

$A(0,a)$ là giao của $(d)$ với trục $Oy$

$B(b,0)$ là giao của $(d)$ với trục $Ox$

Nếu $m=-1$ thì $y=3$

Khi đó, khoảng cách từ $O$ đến $(d)$ là $3$

Nếu $m\neq -1$ thì:

$a=(m+1).0-m+2=-m+2$

$b=\frac{m-2}{m+1}$

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông thì khoảng cách từ $O$ đến $(d)$ là $h$ thì:

$\frac{1}{h^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$

$=\frac{1}{(m-2)^2}+\frac{(m+1)^2}{(m-2)^2}=\frac{m^2+2m+2}{(m-2)^2}$
$\Rightarrow h=\frac{|m-2|}{\sqrt{m^2+2m+2}}$