\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)

\(c+a\ge2\sqrt{ca}\)

Do đó: \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\forall a,c,b\)

Dấu '=' xảy ra khi a=b=c

Vậy: Đây là tam giác đều

\(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\le\dfrac{1}{4}\left(a+b-c+b+c-a\right)=b^2\)

Tương tự: \(\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\le a^2\)

\(\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le c^2\)

Nhân vế với vế:

\(\left[\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\right]^2\le\left(abc\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le abc\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Lời giải:

BĐT $\Leftrightarrow abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)(*)$

Áp dụng BĐT AM-GM:

$(a+b-c)(b+c-a)\leq \left(\frac{a+b-c+b+c-a}{2}\right)^2=b^2$
$(b+c-a)(c+a-b)\leq \left(\frac{b+c-a+c+a-b}{2}\right)^2=c^2$

$(a+b-c)(a+c-b)\leq \left(\frac{a+b-c+a+c-b}{2}\right)^2=a^2$
Nhân theo vế 3 BĐT trên: 

$[(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)]^2\geq (abc)^2$

$\Rightarrow abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$ (BĐT $(*)$ được cm)

Ta có đpcm.

Áp dụng BĐT \(ab=< \frac{\left(a+b\right)^2}{2}\) .Ta có 

(b+c-a)(a+b-c)=<b²

(a+b-c)(a+c-b)=<a²

(a+c-b)(b+c-a)=<c²

=> [(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)]²=<(abc)²

Lại có a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác

=>(b+c-a)(a+b-c)(a+c-b) =< abc(ĐPCM)

theo bđt tam giác thì VT>0

Chuyển 3 tử thành abc là xong

what ????

bạn nói rõ hơn đc ko