a: Thay x=1 và y=3 vào d, ta được:

\(m-2+3m+1=3\)

\(\Leftrightarrow4m=4\)

hay m=1

Lời giải:

a. Gọi $I(x_0,y_0)$ là điểm cố định mà $(d)$ luôn đi qua. Ta có:

$y_0=(m+1)x_0-m+2, \forall m$

$m(x_0-1)+(x_0+2-y_0)=0, \forall m$

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_0-1=0\\ x_0+2-y_0=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_0=1\\ y_0=3\end{matrix}\right.\)

Vậy $I(1,3)$ là điểm cố định mà $d$ luôn đi qua với mọi $m$

b. 

$A(0,a)$ là giao của $(d)$ với trục $Oy$

$B(b,0)$ là giao của $(d)$ với trục $Ox$

Nếu $m=-1$ thì $y=3$

Khi đó, khoảng cách từ $O$ đến $(d)$ là $3$

Nếu $m\neq -1$ thì:

$a=(m+1).0-m+2=-m+2$

$b=\frac{m-2}{m+1}$

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông thì khoảng cách từ $O$ đến $(d)$ là $h$ thì:

$\frac{1}{h^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$

$=\frac{1}{(m-2)^2}+\frac{(m+1)^2}{(m-2)^2}=\frac{m^2+2m+2}{(m-2)^2}$
$\Rightarrow h=\frac{|m-2|}{\sqrt{m^2+2m+2}}$

Cho đường thẳng (d): (y=(2m+1)x-2) với m là tham số và (m\ne-\frac{1}{2}.) Khoảng cách từ (A(-2;1)) đến đường thẳng d được tính theo công thức:

[\sqrt{(-2-(2m+1)(-2))^2+(1-(2m+1)(-2))^2}]

[\sqrt{(16m^2+20m+4)^2+(24m+4)^2}]

[\sqrt{256m^4+640m^3+320m^2+576m^2+960m+16}]

[\sqrt{256m^4+1216m^3+1536m^2+960m+16}]

[\sqrt{16m^2(16m^2+79m+96)+4(16m^2+79m+96)}]

[\sqrt{(4m+7)^2(4m+16)}]

Theo đề bài, khoảng cách này bằng (\frac{1}{\sqrt{2}}.) Do đó, ta có phương trình:

[\sqrt{(4m+7)^2(4m+16)}=\frac{1}{\sqrt{2}}]

Từ đây, ta được phương trình bậc hai:

[(4m+7)^2(4m+16)=1 ]

Giải phương trình này, ta được hai nghiệm:

[m=-\frac{3}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2} ]

Do (m\ne-\frac{1}{2},) ta có nghiệm duy nhất là:

[m=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5}{7} ]

Vậy, tổng các giá trị của m thỏa mãn bài toán là [\frac{5}{7}.]

a) √(√3 - 2)² + √3

= 2 - √3 + √3

= 2

b) Để (d) và (d') cắt nhau thì:

m + 2 ≠ -2

m ≠ -2 - 2

m ≠ -4

Vậy m ≠ -4 thì (d) cắt (d')

c) Thay tọa độ điểm A(3; -1) vào (d) ta có:

(2m - 3).3 + m = -1

⇔ 6m - 9 + m = -1

⇔ 7m = -1 + 9

⇔ 7m = 8

⇔ m = 8/7 (nhận)

Thay m = 8/7 vào (d) ta có:

(d): y = -5x/7 - 8/7

Vậy hệ số góc của (d) là -5/7

cau1: gọi H là chân đường cao kẻ từ O đến đt (d) .\(\Rightarrow OH=2\)

giao điểm (d) và Oy la A(0,4) va giao diem (d) voi Ox la B(\(\dfrac{4}{1-m}\),0)

ta có \(\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{OB^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{16}+\dfrac{\left(1-m\right)^2}{16}=\dfrac{1+\left(1-m\right)^2}{16}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}1-m=\sqrt{3}\\1-m=-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\Rightarrow m=1+\sqrt{3}\left(m>0\right)\)

cau2: goi \(\Delta\)là đường thẳng đi qua B(-5 ;20) vã C(7;-16) Pt \(\Delta\): y= ax+b

tọa độ B,C thõa mãn pt \(\Delta\)\(\left\{{}\begin{matrix}20=-5a+b\\-16=7a+b\end{matrix}\right.\Rightarrow a=-3;b=5\)

\(\Rightarrow\)y= -3x +5 (\(\Delta\)).để 3 điểm A ,B ,C thẳng hàng thi toa do A(\(\sqrt{x-1},-37\)).thoa pt\(\Delta\)

-37= -3\(\sqrt{x-1}+5\)\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}=14\)

\(\Rightarrow x=197\)