a,b,c tỉ lệ với  m, m+n, m+2n  =>  \(\frac{a}{m}=\frac{b}{m+n}=\frac{c}{m+2n}=k\)

=>  \(a=mk;\)\(b=\left(m+n\right)k=mk+nk\);   \(c=\left(m+2n\right)k=mk+2nk\)

Ta có:  \(VT=4\left(a-b\right)\left(b-c\right)=4\left(mk-mk-nk\right)\left(mk+nk-mk-2nk\right)\)

            \(=4\left(-nk\right)\left(-nk\right)=4n^2k^2\)

\(VP=\left(c-a\right)^2=\left(mk+2nk-mk\right)^2=\left(2nk\right)^2=4n^2k^2\)

suy ra: đpcm

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}\)(Tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

=> \(\frac{a^{1994}}{b^{1994}}=\frac{c^{1994}}{d^{1994}}=\frac{\left(a+c\right)^{1994}}{\left(b+d\right)^{1994}}=\frac{a^{1994}+c^{1994}}{b^{1994}+d^{1994}}\)(Tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

=> \(\frac{\left(a+c\right)^{1994}}{\left(b+d\right)^{1994}}=\frac{a^{1994}+c^{1994}}{b^{1994}+d^{1994}}\)

=> Đpcm

Câu 2 tớ đăng phía dưới rồi đó.

Câu 3 đang định đăng lên thì cậu đăng là sao hả?

Bài 1:

a, Ta có:

\(\left(a+b+c\right)^2-\left(ab+bc+ca\right)=0\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca=0\)\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2+2ab+2bc+2ca=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2=0\Leftrightarrow a+b=b+c=c+a=0\)

\(\Leftrightarrow a=b=c=0\)

Vậy điều kiện để phân thức M được xác định là a, b, c không đồng thời = 0

b, Ta có:

\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)

Đặt: \(a^2+b^2+c^2=x,ab+bc+ca=y\)

=> \(\left(a+b+c\right)^2=x+2y\)

Ta cũng có:

\(M=\dfrac{x\left(x+2y\right)+y^2}{x+2y-y}=\dfrac{x^2+2xy+y^2}{x+y}=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x+y}=x+y\)

\(=a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\)

b)Ta có:

\(\left|x+\dfrac{1}{1.2}\right|\ge0,\left|x+\dfrac{1}{2.3}\right|\ge0,...,\left|x+\dfrac{1}{99.100}\right|\ge0\)\(\Rightarrow\)\(\left|x+\dfrac{1}{1.2}\right|+\left|x+\dfrac{1}{2.3}\right|+...+\left|x+\dfrac{1}{99.100}\right|\ge0\)\(\Rightarrow100x\ge0\Rightarrow x\ge0\)

\(\Rightarrow x+\dfrac{1}{1.2}+x+\dfrac{1}{2.3}+...+x+\dfrac{1}{99.100}=100x\)\(\Rightarrow x+x+...+x+\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+....+\dfrac{1}{99.100}=100x\)\(\Rightarrow99x+1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+..+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}=100x\)\(\Rightarrow1-\dfrac{1}{100}=x\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{99}{100}\)

\(\left(a-2c\right)\left(b+2d\right)=\left(b-2d\right)\left(a+2c\right)\)

\(\Leftrightarrow ab+2ad-2bc-4cd=ab+2bc-2ad-4cd\)

\(\Leftrightarrow2ad+2ad=2bc+2bc\Leftrightarrow4ab=4bc\)

\(\Leftrightarrow ad=bc\Rightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d},\left(a,b,c,d\ne0\right)\)

Bài 1:

Dễ thấy: \(VT\ge0\Rightarrow VP\ge0\Rightarrow11x\ge0\Rightarrow x\ge0\)

Như vậy ta có thể biến đổi pt ban đầu như sau:

\(x+\dfrac{1}{2}+x+\dfrac{1}{6}+x+\dfrac{1}{12}+...+x+\dfrac{1}{110}=11x\)

\(\Leftrightarrow\left(x+x+...+x\right)+\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}+...+\dfrac{1}{110}\right)=11x\)

\(\Leftrightarrow10x+\left(\dfrac{1}{1\cdot2}+\dfrac{1}{2\cdot3}+...+\dfrac{1}{10\cdot11}\right)=11x\)

\(\Leftrightarrow10x+\left(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{11}\right)=11x\)

\(\Leftrightarrow10x+\left(1-\dfrac{1}{11}\right)=11x\)\(\Leftrightarrow x=1-\dfrac{1}{11}=\dfrac{10}{11}\) (thỏa mãn)

Bài 2:

Gọi \(a,b,c\) là các chữ số của số có ba chữ số cần tìm

Không mất tính tổng quát giả sử \(a\le b\le c\le 9\)

Ta có: \(1\le a+b+c\le27\)

Mặt khác số cần tìm là bội của \(18\) nên là bội của \(9\)

Do đó \(a+b+c=9\) hoặc \(a+b+c=18\) hoặc \(a+b+c=27\)

Theo đề bài ta có: \(\dfrac{a}{1}=\dfrac{b}{2}=\dfrac{c}{3}=\dfrac{a+b+c}{6}\)

Vậy \(a+b+c⋮6\Rightarrow a+b+c=18\)

Từ đó ta tìm được \(a=3;b=6;c=9\)

Do số phải tìm là bội của \(18\) nên chữ số hàng đơn vị chẵn nên 2 số cần tìm là \(396;936\)

Bài 3:

Ta có nhận xét: Với \(x\ge0\Rightarrow\left|x\right|+x=2x\)

Với \(x< 0\Rightarrow\left|x\right|+x=0\). Do đó \(|x|+x\) luôn là số chẵn với \(\forall x\in Z\)

Áp dụng nhận xét trên thì \(|b-45|+b-45\) là số chẵn \(b\in Z\)

Suy ra \(2^a+37\) là số chẵn suy ra \(2^a\) lẻ suy ra \(a=0\)

Khi đó \(|b-45|+b-45=38\)

*)Nếu \(b<45\Rightarrow-(b-45)+b-45=38\Leftrightarrow 0=38\) (loại)

*)Nếu \(b\ge45\Rightarrow2\left(b-45\right)=38\Rightarrow b-45=19\Rightarrow b=64\) (thỏa mãn)

Vậy \(\left(a;b\right)=\left(0;64\right)\)

Câu 2:Thử 18 số,là các hoán vị của 123;246;369 xem số nào chia hết cho 18 thì chọn