1.

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta=25-12m>0\\x_1^2+x_2^2< 17\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{25}{12}\\\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2< 17\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{25}{12}\\\left(2m-3\right)^2-2\left(m^2-4\right)< 17\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{25}{12}\\2m^2-12m< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow0< m< \dfrac{25}{12}\)

3.

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=11-m>0\\x_1+x_2>0\\x_1x_2>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 11\\6>0\\m-2>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow2< m< 11\)

Thay x=1 vào pt, ta được;

\(1-2\left(m-1\right)+2m-5=0\)

=>2m-4-2m+2=0

=>-2=0(vô lý)

a/ \(m=4\to x^2-8x+7=0\\\leftrightarrow x^2-7x-x+7=0\\\leftrightarrow x(x-7)-(x-7)=0\\\leftrightarrow (x-1)(x-7)=0\\\leftrightarrow x-1=0\quad or\quad x-7=0\\\leftrightarrow x=1\quad or\quad x=7\)

b/ Pt có 2 nghiệm phân biệt

\(\to \Delta=(-2m)^2-4.1.(2m-1)=4m^2-8m+4=4(m^2-2m+1)=4(m-1)^2\ge 0\)

\(\to m\in \mathbb R\)

c/ Theo Viét

\(\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=2m-1\end{cases}\)

Tổng bình phương các nghiệm là 10

\(\to x_1^2+x_2^2\\=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(2m)^2-2.(2m-1)=4m^2-4m+2\)

\(\to 4m^2-4m+2=10\)

\(\leftrightarrow 4m^2-4m-8=0\)

\(\leftrightarrow m^2-m-2=0\)

\(\leftrightarrow m^2-2m+m-2=0\)

\(\leftrightarrow m(m-2)+(m-2)=0\)

\(\leftrightarrow (m+1)(m-2)=0\)

\(\leftrightarrow m+1=0\quad or\quad m-2=0\)

\(\leftrightarrow m=-1(TM)\quad or\quad m=2(TM)\)

Vậy \(m\in\{-1;2\}\)

Sửa đề: \(x_2^2-x_1^2=2\)

Ta có: \(\Delta=\left[-\left(m-3\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(-2m+2\right)\)

\(=\left(m-3\right)^2-4\left(-2m+2\right)\)

\(=m^2-6m+9+8m-8\)

\(=m^2+2m+1\)

\(=\left(m+1\right)^2\ge0\forall m\)

Do đó: Phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m

Áp dụng hệ thức Vi-et, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m-3\\x_1\cdot x_2=-2m+2\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4\cdot x_1x_2\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=\left(m-3\right)^2-4\left(-2m+2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=m^2-6m+9+8m-8=m^2-2m+1\)

\(\Leftrightarrow x_1-x_2=m-1\)

Ta có: \(x_2^2-x_1^2=2\)

\(\Leftrightarrow\left(x_2-x_1\right)\left(x_2+x_1\right)=2\)

\(\Leftrightarrow\left(1-m\right)\left(m-3\right)=2\)

\(\Leftrightarrow m-3-m^2+3m-2=0\)

\(\Leftrightarrow-m^2+4m-5=0\)

\(\Leftrightarrow m^2-4m+5=0\)(Vô lý)

Vậy: Không có giá trị nào của m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn \(x_2^2-x_1^2=2\)

\(\Delta=\left(m-3\right)^2-4\left(-2m+2\right)=\left(m+1\right)^2\ge0\) ;\(\forall m\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m-3\\x_1x_2=-2m+2\end{matrix}\right.\)

\(x_2^2-x_1=2\Leftrightarrow x_2\left(x_1+x_2\right)-x_1x_2-x_1=2\)

\(\Leftrightarrow\left(m-3\right)x_2+2m-2-x_1=2\)

\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)x_2-\left(x_1+x_2\right)+2m-4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)x_2-m+3+2m-4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)x_2=-m+1\Rightarrow x_2=\dfrac{-m+1}{m-2}\)

\(\Rightarrow x_1=m-3-x_2=\dfrac{m^2-4m+5}{m-2}\)

Thế vào \(x_1x_2=-2m+2\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{-m+1}{m-2}\right)\left(\dfrac{m^2-4m+5}{m-2}\right)=-2m+2\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\\dfrac{m^2-4m+5}{\left(m-2\right)^2}=2\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

(1) \(\Leftrightarrow m^2-4m+5=2m^2-8m+8\)

\(\Leftrightarrow m^2-4m+3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=3\end{matrix}\right.\)

Đây chắc chắn là 1 đề bài sai (pt giải ra m là 1 pt bậc 3 hệ số xấu)

Bạn kiểm tra kĩ lại đề bài, phần hệ số các ẩn của pt bậc 2 ấy

\(\Delta'=4-2m\ge0\Rightarrow m\le2\)

Theo Viet ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=m^2+4m-3\end{matrix}\right.\)

Đặt \(P=x_1+x_2-x_1x_2\)

\(P=2\left(m+1\right)-\left(m^2+4m-3\right)\)

\(P=-m^2-2m+5\)

\(P=-\left(m^2+2m+1\right)+6\)

\(P=-\left(m+1\right)^2+6\le6\)

\(\Rightarrow P_{max}=6\) khi \(m+1=0\Leftrightarrow m=-1\)

\(x^2-2\left(m-1\right)x-2m=0\)

\(\text{Δ}=\left(-2m+2\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-2m\right)\)

\(=4m^2-8m+4+8m=4m^2+4>=4>0\forall m\)

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt