Câu hỏi của Cỏ dại - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

\(b,n^4-10n^2+9=n^4-n^2-9n^2+9=\left(n^2-1\right)\left(n^2-9\right)\\ =\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-3\right)\left(n+3\right)\)

Vì \(n\in Z\) và n lẻ nên \(n=2k+1\left(k\in Z\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-3\right)\left(n+3\right)\\ =2k.\left(2k+2\right).\left(2k-2\right).\left(2k+4\right)\\ =16k\left(k+1\right)\left(k-1\right)\left(k+2\right)\)

Vì \(k,k+1,k-1,k+2\) là 4 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho \(1.2.3.4=24\)

Do đó \(16k\left(k+1\right)\left(k-1\right)\left(k+2\right)⋮24.16=384\)

\(c,\forall n=1\Leftrightarrow10+18-28=0⋮27\\ \text{G/s }n=k\Leftrightarrow\left(10^k+18k-28\right)⋮27\\ \Leftrightarrow10^k+18k-28=27m\left(m\in N\right)\\ \Leftrightarrow10^k=27m-18k+28\\ \forall n=k+1\Leftrightarrow10^{k+1}+18\left(k+1\right)-28\\ =10.10^k+18k-10\\ =10\left(27m-18k+28\right)+18k-10=270m-162k+270⋮27\)

Theo PP quy nạp ta đc đpcm

Đặt A = n^4 - 10n^2 + 9

 = (n^4-n^2)-(9n^2-9) = (n^2-1).(n^2-9)

=(n-1).(n+1).(n-3).(n+3)

Vì n lẻ nên n có dạng 2k+1 (k thuộc Z)

Khi đó A = 2k.(2k+2).(2k-2).(2k+4)

= 16.k.(k+1).(k-1).(k+2)

Ta thấy k-1;k;k+1;k+2 là 4 số nguyên liên tiếp nên có 2 số chẵn liên tiếp và có 1 số chia hết cho 3

=> k.(k+1).(k-1).(k+2) chia hết cho 3 và 8

=> k.(k+1).(k-1).(k+2) chia hết cho 24 [vì(3;8)=1]

=>A chia hết cho 16.24 = 384 => ĐPCM

n lẻ=>n=2k+1

Thay vào ta có n⁴-10n²+9=(2k+1)⁴+10(2k+1)²+9

=(4k²+4k+1)(4k²+4k+1)-40k²-40k-10+9

=16k⁴+32k³+24k²+8k+1-40k²-40k-1

=16k⁴+32k³-16k²-32k

=16k(k³+2k²-k-2)

=16k(k²(k+2)-(k+2))

=16k(k²-1)(k+2)

=>16k(k-1)(k+1)(k+2)

ta có (k-1),k,(k+1),(k+2) là 4 số tự nhiên liên tiếp 

=>(k-1)k(k+1)(k+2) chia hết cho 24

=>16(k-1)k(k+1)(k+2) chia hết 384

  Vậy...

Đặt A = n⁴ - 10n² + 9

= ( n⁴ - n² ) - ( 9n^{2 - 9} ) = ( n^{2 - 1} ) . ( n² - 9 )

= ( n - 1 ) . ( n + 1 ) . ( n - 3 ) . ( n + 3 )

Vì n là số lẻ nên n có dạng 2k + 1 ( k thuộc Z )

Khi đó A = 2k . ( 2k + 2 ) . ( 2k - 2 ) . ( 2k + 4 )

= 16 . k . ( k + 1 ) . ( k - 1 ) . ( k + 2 )

Ta thấy k - 1 ; k + 1 ; k + 2 là 4 số nguyên tố liên tiếp nên có 2 số chẵn liên tiếp và có 1 số chia hết cho 3

\(\Rightarrow\)k . ( k + 1 ) . ( k - 1 ) . ( k + 2 ) chia hết cho 3 và 8

\(\Rightarrow\)k . ( k + 1 ) . ( k - 1 ) . ( k + 2 ) chia hết cho 24 vì [  BC ( 3 ; 8 ) = 1 ]

\(\Rightarrow\)a \(⋮\)\(16.24=383\RightarrowĐPCM\)

a) Áp dụng định lí nhỏ Fermat vào biểu thức \(n^5-n\), ta được:

\(n^5-n⋮5\)(vì 5 là số nguyên tố)

Ta có: \(n^5-n\)

\(=n\left(n^4-1\right)\)

\(=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)

\(=\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)\cdot\left(n^2+1\right)\)

Vì n-1 và n là hai số nguyên liên tiếp nên \(\left(n-1\right)\cdot n⋮2\)

\(\Leftrightarrow\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)⋮2\)

Vì n-1; n và n+1 là ba số nguyên liên tiếp nên \(\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)⋮3\)

mà \(\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)⋮2\)(cmt)

và ƯCLN(2;3)=1

nên \(\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)⋮2\cdot3\)

\(\Leftrightarrow\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)⋮6\)

\(\Leftrightarrow\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)\cdot\left(n^2+1\right)⋮6\)

hay \(n^5-n⋮6\)

mà \(n^5-n⋮5\)(cmt)

và ƯCLN(6;5)=1

nên \(n^5-n⋮6\cdot5\)

hay \(n^5-n⋮30\)(đpcm)

a)Đặt \(A=n^3+6n^2+8n\)

\(A=n\left(n^2+6n+8\right)\)

\(A=n\left(n^2+2n+4n+8\right)\)

\(A=n\left[n\left(n+2\right)+4\left(n+2\right)\right]\)

\(A=n\left(n+2\right)\left(n+4\right)⋮\forall n\) chẵn

b)Đặt \(B=n^4-10n^2+9\)

\(B=n^4-n^2-9n^2+9\)

\(B=n^2\left(n^2-1\right)-9\left(n^2-1\right)\)

\(B=\left(n-3\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+3\right)⋮384\forall n\) lẻ