\(5x^4+10x^2+2y^6+4y^3-6=0\)

\(\Leftrightarrow5x^4+10x^2+5+2y^6+4y^3+2-7-6=0\)

\(\Leftrightarrow5\left(x^4+2x^2+1\right)+2\left(y^6+2y^3+1\right)=13\)

\(\Leftrightarrow5\left(x^2+1\right)^2+2\left(y^3+1\right)^2=13\)

mà \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x^2+1\right)^2\ge0,\forall x\inℤ\\\left(y^3+1\right)^2\ge0,\forall y\inℤ\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+1=1\\y^3+1=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=0\\y^3=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=1\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=1\end{matrix}\right.\) thỏa mãn yêu cầu của đề bài.

\(\Leftrightarrow x^4+y^4+1+2x^2y^2+2y^2+2x^2-5x^2-4y^2-5=0\)

\(\Leftrightarrow x^4+y^4+2x^2y^2-3x^2-2y^2-4=0\)

\(\Leftrightarrow2x^4+2y^4+4x^2y^2-6x^2-4y^2-8=0\)

\(\Leftrightarrow2x^2\left(x^2+y^2\right)+2y^2\left(x^2+y^2\right)-4\left(x^2+y^2\right)-2\left(x^2+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)\left(x^2+y^2-2\right)-x^2=4\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2-1\right)^2-1-x^2=4\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2-1\right)^2-x^2=4-1=2^2-1^2\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2-1=2\\x=\pm1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\pm1\\y=\pm\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)(KTM)

Vậy pt vô nghiệm.

Mình gợi ý phần đầu nè. Xét \(x=0\) riêng được \(y=0\) hoặc \(y=1\).

Xét \(x\ne0\). Khi đó  \(x\) và \(x^2+x+1\) nguyên tố cùng nhau với mọi \(x\) nguyên khác 0.

(Ở đây ta chỉ định nghĩa 2 số nguyên tố cùng nhau là 2 số có ước chung lớn nhất là 1 nên số âm vẫn được).

Để CM điều này ta gọi \(d=gcd\left(x^2+x+1,x\right)\) thì \(1⋮d\).

Vế trái là một số chia hết cho 4 nên trong 2 số \(x\) và \(x^2+x+1\) phải có một số chia hết cho 4

(Nếu mỗi số đều chia hết cho 2 thì không thể nguyên tố cùng nhau)

Trường hợp 1: \(x⋮4\) còn \(x^2+x+1\) lẻ.

Do \(y\) và \(y-1\) có 1 số chẵn và 1 số lẻ nên số chẵn sẽ là ước của \(x\) còn số lẻ là ước của \(x^2+x+1\).

Tức là có 2 trường hợp: \(x=4y\) và \(x=4\left(y-1\right)\).

Trường hợp 2 ngược lại.

Tới đây bạn tự giải được nha.

\(x\left[1+x+x^2\right]=4y\left[y-1\right]\)

\(\Leftrightarrow x^3+x^2-4y^2+x+4y=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left[x+1\right]+x-4y^2+4y=0\)

\(\Leftrightarrow\Delta=b^2-4ac=1-16xy+16xy^2-16y+16y^2\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x1=\frac{-1+\sqrt{1-16xy+16xy^2-16y+16y^2}}{2x+2}\\x2=\frac{-1-\sqrt{1-16xy+16xy^2-16y+16y^2}}{2x+2}\end{cases}}\)

đến đây tự làm tiếp nhé

Ta có :

\(\left(x^2+4y^2+28\right)^2=17\left(x^4+y^4+14y^2+49\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[x^2+4\left(y^2+7\right)\right]^2=17\left[x^4+\left(y^2+7\right)^2\right]\)

\(\Leftrightarrow16x^4-8x^2\left(y^2+7\right)+\left(y^2+7\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left[4x^2-\left(y^2+7\right)\right]^2=0\Leftrightarrow4x^2-y^2-7=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+y\right)\left(2x-y\right)=7\)

Vì x , y nguyên dương nên \(2x+y>0\)và \(2x+y>2x-y\)

Do đó \(2x+y=7\)và \(2x-y=1\). Vậy \(x=2,y=3\)

Ta có :

\(\left(x^2+4y^2+28\right)^2=17\left(x^4+y^4+14y^2+49\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[x^2+4\left(y^2+7\right)\right]^2=17\left[x^4+\left(y^2+7\right)^2\right]\)

\(\Leftrightarrow16x^4-8x^2\left(y^2+7\right)+\left(y^2+7\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left[4x^2-\left(y^2+7\right)\right]^2=0\)

\(\Leftrightarrow4x^2-y^2-7=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+y\right)\left(2x-y\right)=7\)

Vì x , y nguyên dương nên \(2x+y>0\) và \(2x+y>2x-y\)

Do đó : \(\left[\begin{array}{nghiempt}2x+y=7\\2x-y=1\end{array}\right.\) \(\Rightarrow x=2;y=3\)

\(16y^4+\left(8x^2+244\right)y^2+x^4+56x^2+784+17x^4+833\)

\(-17y^4+16y^4-238y^2+\left(8x^2+224\right)y^2-4=0\)

\(-\left[y^4+\left(8x^2+14\right)y^2+16x^4-56x^2+4\right]\)

\(\Leftrightarrow\text{[}x^2+4\left(y^2+7\right)\text{]}^2=17\text{[}x^4+\left(y^2+7\right)^2\text{]}\)

\(\Leftrightarrow\)
[x⁴+8(y²+7)+16(y²+7)²=17[x⁴+17(y²+7)²]
\(\Leftrightarrow\)16x⁴-8(y²+7)+(y²+7)²=0

\(\Leftrightarrow\)4x²-(y²+7)=0
\(\Leftrightarrow\)
(2x-y)(2x+y)=7                (1)
Do x. y là các số tự nhiên nên 2x+y>2x-y>0 nên từ (1) \(\Rightarrow\)\(\begin{cases}2x-y=1\\2x+y=7\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}}\)