làm cái đề ra ấy, ngại viết lại đề :P

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=4\left(a^2+b^2+c^2\right)-4\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(ab+bc+ca\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}}\)

\(\Rightarrow M=1^{2018}+1^{2019}+1^{2020}=1+1+1=3\)

Ta có: \(a+b+c=9\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=81\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=81\)

\(\Leftrightarrow27+2ab+2bc+2ac=81\)

\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ac\right)=54\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ac=27\)

mà \(a^2+b^2+c^2=27\)

nên \(a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2ac+2bc\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b\\b=c\\c=a\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c\)

mà a+b+c=9

nên a=b=c=3

Ta có: \(B=\left(a-4\right)^{2018}+\left(b-4\right)^{2019}+\left(c-4\right)^{2020}\)

\(=\left(3-4\right)^{2018}+\left(3-4\right)^{2019}+\left(3-4\right)^{2020}\)

\(=\left(-1\right)^{2018}-1^{2019}+\left(-1\right)^{2020}\)

\(=1-1+1\)

\(=1\)

Vậy: B=1

Lời giải:

Ta thấy:

\(ab+bc+ac=\frac{(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)}{2}=\frac{9^2-27}{2}=27\)

Do đó: \(ab+bc+ac=a^2+b^2+c^2\)

\(\Rightarrow 2(ab+bc+ac)=2(a^2+b^2+c^2)\)

\(\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ac)=0\)

\(\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0\)

Vì mỗi số hạng trong tổng trên đều không âm nên để tổng của chúng bằng $0$ thì:

\((a-b)^2=(b-c)^2=(c-a)^2=0\Rightarrow a=b=c\)

Kết hợp với $a+b+c=9$ suy ra $a=b=c=3$

Do đó:

\(B=(3-4)^{2018}+(3-4)^{2019}+(3-4)^{2020}=1-1+1=1\)

Ta có:

ab+bc+ac=(a+b+c)2−(a2+b2+c2)2=92−272=27

Do đó: ab+bc+ac=a2+b2+c2

⇒2(ab+bc+ac)=2(a2+b2+c2)

⇔2(a2+b2+c2)−2(ab+bc+ac)=0

⇔(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2=0

Vì mỗi số hạng trong tổng trên đều không âm nên để tổng của chúng bằng 0 thì:

(a−b)2=(b−c)2=(c−a)2=0⇒a=b=c

Kết hợp với a+b+c=9 suy ra a=b=c=3

Do đó:

<=> \(2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca< =>\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0< =>\)

a=b=c => 3²⁰²⁰ = 3.a²⁰¹⁹ <=> 3²⁰¹⁹ = a²⁰¹⁹ => a=b=c=3

A= 1²⁰¹⁷ + 0²⁰¹⁸ + (-1)²⁰¹⁹ = 0

-Tham khảo:

https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-abc-la-cac-so-thoa-man-2018le-abcle2019-tim-gtln-cua-bieu-thuc-plefta-bright2000leftb-cright2000leftc-aright.253535226325

Không mất tính tổng quát giả sử \(a\ge b\ge c\)

đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a-b=x\\b-c=y\\c-a=z\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0\le x;y;z\le1\\x+y=z\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^{2000}\le x\\y^{2000}\le y\\z^{2000}\le z\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow P=x^{2000}+y^{2000}+z^{2000}\le x+y+z=2z\le2\)

\(\Rightarrow P_{max}=1\) khi (x;y;z)=(0;1;1) và hoán vị

\(\Rightarrow\left(a;b;c\right)=\left(2018;2018;2019\right)\) và hoán vị