\(\left(n-1\right)^2\cdot\left(n+1\right)+\left(n^2-1\right)\)

\(=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-1+1\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Vì n;n-1;n+1 là ba số nguyên liên tiếp

nên \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮3!\)

hay \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮6\)

Ta có: (n - 1)(n + 4) - (n - 4)(n + 1)

= (n - 1)(n + 1 + 3) - (n - 1 - 3)(n + 1)

= [(n - 1)(n + 1) + (n - 1).3] - [(n - 1)(n + 1) - 3.(n + 1)]

= (n - 1)(n + 1) + (n - 1).3 - (n - 1)(n + 1) + 3.(n + 1)

= (n - 1).3 + 3.(n + 1)

= 3.(n - 1 + n + 1)

= 3.2n

= 6n chia hết cho 6

=> đpcm

Ta có:

\(A=\left(n-1\right)\left(n+4\right)-\left(n-4\right)\left(n+1\right)\)

\(A=\left(n^2+4n-n-4\right)-\left(n^2+n-4n-4\right)\)

\(A=n^2+4n-n-4-n^2-n+4n+4\)

\(A=6n\)

Vì 6n luôn chia hết cho 6 với mọi n \(\in\)Z

=> (n-1)(n+4)-(n-4)(n+1) luôn chia hết cho 6 với mọi n \(\in\)Z

Bài 1: 

b) Ta có: \(\left(2n-3\right)\left(2n+3\right)-4n\left(n-9\right)\)

\(=4n^2-9-4n^2+36n\)

\(=36n-9⋮9\)

    n² ( n + 1) +2n (n + 1 )

       = n (n + 1 ) ( n + 2 )

        Vì n ; n + 1 ; n + 2 là các số tự nhiên liên tiếp

           \(\Rightarrow\) n ( n + 1 ) ( n + 2 ) chia hết cho 6

            Vậy n² ( n + 1 ) ( n + 2 ) luôn chia hết cho 6 với mọi giá trị của n

Ta có n^2(n+1)+2n(n+1) = n^3+3n^2+2n = n(n^2+3n+2) = n(n+1)(n+2) 
Ta thấy n, n+1, n+2 là ba số nguyên liên tiếp với n nguyên 
=> trong 3 số n, n+1, n+2 có một số chia hết cho 3, có ít nhất một số chia hết cho 2 
=> n(n+1)(n+2) chia hết cho 2*3 = 6 (vì ƯCLN(2;3)=1) 
Vậy ta được điều phải chứng minh

Ta có n^2(n+1)+2n(n+1) = n^3+3n^2+2n = n(n^2+3n+2) = n(n+1)(n+2) 
Ta thấy n, n+1, n+2 là ba số nguyên liên tiếp với n nguyên 
=> trong 3 số n, n+1, n+2 có một số chia hết cho 3, có ít nhất một số chia hết cho 2 
=> n(n+1)(n+2) chia hết cho 2*3 = 6 (vì ƯCLN(2;3)=1
Vậy ta được điều phải chứng minh

Trần Thị Thùy Dung tham khảo đây nha:

Câu hỏi của Cute Baby so good - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath

............

\(n^4-1=\left(n^2\right)^2-1^2=\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)

n lẻ  

=> n - 1 và n + 1 chẵn

Tích của 2 số chẵn liên tiếp sẽ chia hết cho 8

=> Biểu thức trên chia hết cho 8 với mọi n lẻ (đpcm)

ai giải giúp mình bài 2 và bài 3 với

1)  \(55^{n+1}-55^n=55^n\left(55-1\right)=55^n.54⋮54\)

2) A= \(n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

A là tích 3 số TN liên tiep => A\(⋮\)2; A\(⋮\)3

=> A\(⋮\)2.3

A\(⋮\)6

Với \(n=1\Rightarrow2^n+6.9^n=2+6.9=56⋮7\) 

Giả sử \(2^k+6.9^k⋮7\) ta cần chứng minh \(2^{k+1}+6.9^{k+1}⋮7\)

\(2^{k+1}+6.9^{k+1}=2.2^k+6.9.9^k=2\left(2^k+27.9^k\right)=2\left(2^k+6.9^k+21.9^k\right)\)

Ta thấy \(2^k+6.9^k⋮7;21.9^k⋮7\Rightarrow2^{k+1}+6.9^{k+1}⋮7\)

Kết luận: \(2^n+6.9^n⋮7\forall n\)