a, BD = 17cm

b, AH =  120 17 cm

c, HS tự làm

a: Ta có: AD=BC

mà BC=15cm

nên AD=15cm

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABD vuông tại A, ta được:

\(BD^2=AB^2+AD^2\)

\(\Leftrightarrow BD^2=15^2+8^2=289\)

hay BD=17(cm)

b: Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABD vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BD, ta được:

\(AH\cdot BD=AB\cdot AD\)

\(\Leftrightarrow AH=\dfrac{8\cdot15}{17}=\dfrac{120}{17}\left(cm\right)\)

a: ΔABD vuông tại A

=>BD^2=AB^2+AD^2

=>BD=căn 8^2+15^2=17(cm)

Xét ΔABD vuông tại A có AH là đường cao

nên AH*BD=AB*AD

=>AH*17=15*8=120

=>AH=120/17(cm)

b: Xét ΔHDK vuông tại H và ΔHIB vuông tại H có

góc HDK=góc HIB

Do đó: ΔHDK đồng dạng với ΔHIB

=>HD/HI=HK/HB

=>HD*HB=HK*HI=HA^2

a: ABCD là hình chữ nhật

=>\(BD^2=BA^2+BC^2\)

=>\(BD^2=5^2+12^2=169\)

=>BD=13(cm)

b: Xét ΔADB vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BD=AB\cdot AD\)

=>\(AH\cdot13=5\cdot12=60\)

=>\(AH=\dfrac{60}{13}\left(cm\right)\)

c: \(\widehat{HDK}+\widehat{HBC}=90^0\)(ΔBDC vuông tại C)

\(\widehat{HIB}+\widehat{HBI}=90^0\)(ΔHBI vuông tại H)

mà \(\widehat{HBC}=\widehat{HBI}\left(I\in BC\right)\)

nên \(\widehat{HDK}=\widehat{HIB}\)

Xét ΔHDK vuông tại H và ΔHIB vuông tại H có

\(\widehat{HDK}=\widehat{HIB}\)

Do đó: ΔHDK đồng dạng với ΔHIB

=>\(\dfrac{HD}{HI}=\dfrac{HK}{HB}\)

=>\(HD\cdot HB=HK\cdot HI\)(1)

Xét ΔABD vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HD\cdot HB\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AH^2=HK\cdot HI\)

a,Vì ABCD là hình chữ nhật => BC = AD = 15 cm 

Xét tam giác ABD vuông tại A, đường cao AH 

Áp dụng định lí Pytago cho tam giác ABD 

\(BD^2=AB^2+AD^2=64+225=289\Rightarrow BD=17\)cm 

* Áp dụng hệ thức : \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AD^2}\Rightarrow\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{64}+\frac{1}{225}=\frac{225+64}{64.225}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{AH^2}=\frac{289}{14400}\Leftrightarrow AH^2=\frac{14400}{289}\Leftrightarrow AH=\frac{120}{17}\)

b, Xét tam giác AHB vuông tại H đường cao HI 

 \(AH^2=IA.AB\)( hệ thức lượng ) (1) 

Xét tam giác ABD vuông tại A đường cao AH 

\(AH^2=DH.BH\)( hệ thức lượng ) (2) 

Từ (1) ; (2) suy ra \(IA.AB=DH.BH\)( đpcm )

a: BD=17cm

b: \(AH=\dfrac{8\cdot15}{17}=\dfrac{120}{17}\left(cm\right)\)

a: Ta có: ΔABC cân tại A

mà AH là đường cao

nên H là trung điểm của BC

b: BH=CH=BC/2=6cm

=>AH=8cm

c: Xét ΔAEH có

AK là đường cao

AK là đường trung tuyến

Do đó: ΔAEH cân tại A

hay AH=AE(1)

Xét ΔADH có 

AI là đường cao

AI là đường trung tuyến

Do đó; ΔADH cân tại A

hay AD=AH(2)

Từ (1) và (2) suy ra AD=AE
hay ΔADE cân tại A

d: Xét ΔAHI vuông tại I và ΔAHK vuông tại K có

AH chung

\(\widehat{IAH}=\widehat{KAH}\)

Do đó: ΔAHI=ΔAHK

Suy ra: HI=HK

=>HD=HE

hay H nằm trên đường trung  trực của DE(3)

Ta có: AD=AE

nên A nằm trên đường trung trực của DE(4)

Từ (3) và (4) suy ra AH là đường trung trực của DE