1/ Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác AD và đường trung tuyến BM vuông góc tại E. Gọi H là trung điểm AE. BE cắt AC tại K.
a) Cm: tam giác BDK vuông cân tại D
b) Cm : (AD/AC)2 = 2/9
2/ Cho tam giác ABC vuông cân tại có đường trung tuyến AM. Vẽ MH vuông AB ( H thuộc AB ). Từ A hạ AI vuông CH tại I. Gọi N là giao điểm IC và AM. BI cắt AC tại K.
a) Cm: BI vuông với IM tại I
b) Cm: AN.AB = IC.MK
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AB, E là điểm đối xứng với M qua D. Tam giác ABC có điều kiện gì thì AEBM là hình vuông.
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC= 8 cm, đường trung tuyến M. Gọi d là đường thẳng vuông góc với AM tại A. Kể BD vuông góc với d tại D, kẻ CE vuông góc với d tại E. a, Chứng minh: tam giác ABC đồng dạng với tam giác CAE. b, Tính CE
a) Sửa đề: Chứng minh ∆ABC ∽ ∆EAC
Giải:
∆ABC vuông tại A
⇒ BC² = AB² + AC² (Pytago)
= 6² + 8²
= 100
⇒ BC = 10 (cm)
Do AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC
⇒ AM = BM = CM = BC : 2
= 10 : 2 = 5 (cm)
∆AMC có AM = CM = 5 (cm)
⇒ ∆AMC cân tại M
⇒ ∠MAC = ∠MCA (hai góc ở đáy)
Do MA ⊥ DE (gt)
CE ⊥ DE (gt)
⇒ MA // DE
⇒ ∠MAC = ∠ACE (so le trong)
Mà ∠MAC = ∠MCA (cmt)
⇒ ∠MAC = ∠ACE
⇒ ∠ACE = ∠BCA (do ∠MAC = ∠BAC)
Xét hai tam giác vuông:
∆ABC và ∆EAC có:
∠BCA = ∠ACE (cmt)
⇒ ∆ABC ∽ ∆EAC (g-g)
b) Do ∆ABC ∽ ∆EAC (cmt)
⇒ AC/CE = BC/AC
⇒ CE = AC²/BC
= 8²/10
= 6,4 (cm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường trung tuyến AM và đường trung tuyến BQ, với
AB = 6cm; AM = 5 cm. Gọi P là điểm trên đoạn thẳng AM sao cho AM AP 3 . Gọi V là giao
điểm của CP và BQ. Tính độ dài đoạn thẳng VQ.
cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường trung tuyến AM. Gọi D,E lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A đến AB, AC. CM: AM vuông góc với DE
Tâm giác vuông ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AB, E là điểm đối xứng với M qua D. a) Cho BC=6cm. Tính AM b) Chứng minh: MC=AE
a: AM=BC/2=3cm
b: Xét tứ giác AMBE co
D là trung điểm chung của AB và ME
MA=MB
Do đó; AMBE là hình thoi
=>AE=MB=MC
Cho tam giác ABC vuông tại A ,đường trung tuyến AM. Gọi I
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường trung tuyến AM. Gọi D, E theo thứ tự là chân đường vuông góc kể từ H đến AB, AC. Chứng minh rằng AM vuông góc với DE.
Xét tứ giác ADHE, ta có:
∠ A = 90 0 (gt)
∠ (ADH) = 90 0 (vì HD ⊥ AB)
∠ (AEH) = 90 0 (vì HE ⊥ AC)
Suy ra tứ giác ADHE là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông).
+ Xét ∆ ADH và ∆ EHD có :
DH chung
AD = EH ( vì ADHE là hình chữ nhật)
∠ (ADN) = ∠ (EHD) = 90 0
Suy ra: ∆ ADH = ∆ EHD (c.g.c)
⇒ ∠ A 1 = ∠ (HED)
Lại có: ∠ (HED) + ∠ E 1 = ∠ (HEA) = 90 0
Suy ra: ∠ E 1 + ∠ A 1 = 90 0
∠ A 1 = ∠ A 2 (chứng minh trên) ⇒ ∠ E 1 + ∠ A 2 = 90 0
Gọi I là giao điểm của AM và DE.
Trong ∆ AIE ta có: ∠ (AIE) = 180o – ( ∠ E 1 + ∠ A 2 ) = 180 0 - 90 0 = 90 0
Vậy AM ⊥ DE.
Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường trung tuyến AM gọi D là trung điểm của AB , E là điểm đối xứng với M qua D a) chứng minh tứ giác AEBM là hình thoi b) gọi i là trung điểm của AM chứng minh E, i, C thẳng hàng c) tam giác ABC có thêm điều kiện gì thì AEBM là hình vuông
a: Xét tứ giác AEBM có
D la trung điểm chung của AB và EM
MA=MB
Do đó: AEBM là hình thoi
b: Xét tứ giác AEMC có
AE//MC
AE=MC
Do đó: AEMC là hình bình hành
=>AM cắt EC tại trung điểm của mỗi đường
=>E,I,C thẳng hàng
c: Để AEBM là hình vuông thì góc AMB=90 độ
=>AM vuông góc với BC
=>ΔABC cân tại A
a: Xét ΔABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến
nên \(AM=MB=MC=\dfrac{BC}{2}\)
Xét tứ giác AMBE có
D là trung điểm chung của AB và ME
=>AMBE là hình bình hành
Hình bình hành AMBE có MA=MB
nên AMBE là hình thoi
=>AE//MB và AE=MB
AE//MB
M\(\in\)BC
Do đó: AE//MC
AE=MB
MB=MC
Do đó: AE=MC
Xét tứ giác ACME có
AE//MC
AE=MC
Do đó: ACME là hình bình hành
b: Hình thoi AEBM trở thành hình vuông khi \(\widehat{MBE}=90^0\)
=>\(\widehat{MBA}=\dfrac{90^0}{2}=45^0\)
=>\(\widehat{ABC}=45^0\)
