Những câu hỏi liên quan
Nguyễn Minh Quang 123
Xem chi tiết
Trần Đức Thắng
13 tháng 9 2015 lúc 7:50

Áp dụng BĐT cô si với hai số không âm ta có :

\(1.\sqrt{a+1}\le\frac{a+1+1}{2}=\frac{a}{2}+1\)

\(1.\sqrt{b+1}\le\frac{b}{2}+1\)

\(1.\sqrt{c+1}\le\frac{c}{2}+1\)

=> \(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}\le3+\frac{a+b+c}{2}=3+\frac{1}{2}=3,5\)

=> ĐPCM 

Bình luận (0)
Vũ Đình Thái
Xem chi tiết
Trần Minh Hoàng
20 tháng 12 2020 lúc 18:43

\(VT=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\sqrt{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}+\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\le_{AM-GM}\dfrac{a+b+a+c}{2}+\dfrac{b+c+b+a}{2}+\dfrac{c+a+c+b}{2}=2\left(a+b+c\right)=VP\) (đpcm)

Bình luận (0)
Huy Hoang
23 tháng 1 2021 lúc 20:38

Đầy đủ hơn 1 tí nhé

Theo gt : ab + bc + ca = 1 nên a2 + 1 = a2 + ab + bc + ca

                                                            = ( a + b )( a + c )

- Áp dụng bđt Cauchy ta có :

\(\sqrt{a^2+1}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\le\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{2}\)

- Tương tư ta cũng có : 

\(\sqrt{b^2+1}\le\frac{\left(b+a\right)+\left(b+c\right)}{2}\)và \(\sqrt{c^2+1}\le\frac{\left(c+a\right)+\left(c+b\right)}{2}\)

Từ đó suy ra : VT \(\le\frac{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)+\left(b+a\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)+\left(c+b\right)}{2}\)

                                   \(\le2\left(a+b+c\right)=VP\left(đpcm\right)\)

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa
Mạnh Dũng
Xem chi tiết
Nguyễn Hoàng Minh
22 tháng 11 2021 lúc 7:09

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0\Leftrightarrow ab+bc+ca=0\)

Cần cm:

\(\sqrt{a+b}=\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}\\ \Leftrightarrow a+b=a+b+2c+2\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\\ \Leftrightarrow2c+2\sqrt{ab+ac+bc+c^2}=0\\ \Leftrightarrow2c+2\sqrt{c^2}=0\\ \Leftrightarrow2c+2\left|c\right|=0\\ \Leftrightarrow2c-2c=0\left(c< 0\right)\\ \Leftrightarrow0=0\left(luôn.đúng\right)\)

Vậy đẳng thức đc cm

Bình luận (0)
Thái An Nguyễn
Xem chi tiết
Akai Haruma
19 tháng 8 2023 lúc 18:17

Bạn cần viết đề bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ góc trái khung soạn thảo) để mọi người hiểu đề của bạn hơn.

Bình luận (0)
le bao son
Xem chi tiết
ngotoan
2 tháng 10 2018 lúc 15:58

k mình nha

Bình luận (0)
le bao son
2 tháng 10 2018 lúc 16:09

bn giải đi đã

Bình luận (0)
Đinh Thị Ngọc Anh
Xem chi tiết
Nguyễn Thế Hiếu
Xem chi tiết
loancute
Xem chi tiết
Nguyễn Trọng Chiến
6 tháng 3 2021 lúc 20:46

\(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+ab+ac+bc}}=\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\dfrac{a}{2}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}\right)\) Chứng minh tương tự ta được:

\(\dfrac{b}{\sqrt{b^2+1}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{b+a}+\dfrac{b}{b+c}\right);\dfrac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{c}{c+a}+\dfrac{c}{c+b}\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{b+a}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}+\dfrac{c}{c+b}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a+b}{a+b}+\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{c+a}{c+a}\right)=\dfrac{1}{2}\left(1+1+1\right)=\dfrac{3}{2}\) Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
6 tháng 3 2021 lúc 20:48

\(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}=\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}\right)\)

Tương tự: \(\dfrac{b}{\sqrt{b^2+1}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}\right)\) ; \(\dfrac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{c}{c+a}+\dfrac{c}{b+c}\right)\)

Cộng vế:

\(VT\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{b+c}\right)=\dfrac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

Bình luận (0)
ha thi thuy
Xem chi tiết