Cho x + y + z =1
x\(^2\)+ y\(^2\) + z\(^2\)+ 1
x\(^3\) + y\(^3\) + z\(^3\) = 1
Chứng minh rằng x +y\(^2\) + z\(^3\) = 1
Những câu hỏi liên quan
Cho x,y,z>-1 thỏa mãn
\(x^3+y^3+z^3\ge x^2+y^2+z^2\)
Chứng minh rằng
\(x^5+y^5+z^5\ge x^2+y^2+z^2\)
Cho x,y,z là số thực dương khác 0 thoả mãn (1/x+1/y+1/z)^2=1/x^2+1/y^2+1/z^2
Chứng minh rằng x^3+y^3+z^3=3xyz
ta co: \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}.\)
\(\Rightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=0\)
=> x + y + z = 0
Lai co: x3 + y3 +z3 - 3xyz = (x+y+z).(x2+y2+z2 - xy - yz - zx)
x3 + y3 + z3 - 3xyz = 0
=> x3 + y3 + z3 = 3xyz
Đúng 0
Bình luận (0)
ta co: \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}.\)
=> 1/xy + 1/yz + 1/xz = 0
=> x + y + z = 0
Lai co: x3 + y3 +z3 - 3xyz = (x+y+z).(x2+y2+z2 - xy - yz - zx)
x3 + y3 + z3 - 3xyz = 0
=> x3 + y3 + z3 = 3xyz
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho các số dương x,y,z và \(x^2+y^2+z^2=1\).Chứng minh rằng:\(\dfrac{x^3}{y+2z}+\dfrac{y^3}{z+2x}+\dfrac{z^3}{x+2y}\ge\dfrac{1}{3}\)
\(\dfrac{x^3}{y+2z}+\dfrac{y^3}{z+2x}+\dfrac{z^3}{x+2y}=\dfrac{x^4}{xy+2xz}+\dfrac{y^4}{yz+2xy}+\dfrac{z^4}{xz+2yz}\)
\(\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\dfrac{1}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho x, y, z thỏa mãn: \(x^3-y^2-y=y^3-z^2-z=z^3-x^2-x=\frac{1}{3}\)
Chứng minh rằng: x, y, z dương và x = y = z
Cho x;y;z>0. Chứng minh rằng: \(\frac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}+\frac{2\sqrt{y}}{y^3+z^2}+\frac{2\sqrt{z}}{z^3+y^2}\le\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)\(\frac{1}{z^2}\)
Sử dụng BĐT AM-GM, ta có:
\(x^3+y^2\ge2yx\sqrt{x}\)
\(\Rightarrow\frac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}\le\frac{2\sqrt{x}}{2yx\sqrt{x}}=\frac{1}{xy}\)
Tương tự cộng lại suy ra:
\(VT\le\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\le\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho x , y , z > 0
Chứng minh rằng
\(\frac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}+\frac{2\sqrt{y}}{y^3+z^2}+\frac{2\sqrt{z}}{z^3+x^2}\le\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)
Theo AM-GM: \(x^3+y^2\ge2\sqrt{x^3y^2}=2xy\sqrt{x}\)
\(\Rightarrow\frac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}\le\frac{2\sqrt{x}}{2xy\sqrt{x}}=\frac{1}{xy}\)
Tương tự: \(\frac{2\sqrt{y}}{y^3+z^2}\le\frac{1}{yz}\)
\(\frac{2\sqrt{z}}{z^3+x^2}\le\frac{1}{zx}\)
Cộng vế với vế => \(VT\le\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\)
Theo AM-GM; \(VT\le\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\le\frac{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}}{2}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)
Dấu " = " xảy ra <=> x=y=z=1
Áp dụng bất đẳng thức Cacuhy - Schwarz
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^3+y^2\ge2\sqrt{x^3y^2}=2xy\sqrt{x}\\y^3+z^2\ge2\sqrt{y^3z^2}=2yz\sqrt{y}\\z^3+x^2\ge2\sqrt{z^3x^2}=2xz\sqrt{z}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}\le\frac{2\sqrt{x}}{2xy\sqrt{x}}=\frac{1}{xy}\\\frac{2\sqrt{y}}{y^3+z^2}\le\frac{2\sqrt{y}}{2yz\sqrt{y}}=\frac{1}{yz}\\\frac{2\sqrt{z}}{z^3+x^2}\le\frac{2\sqrt{z}}{2xz\sqrt{z}}=\frac{1}{xz}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\left(1\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cacuchy Schwarz
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge2\sqrt{\frac{1}{x^2y^2}}=\frac{2}{xy}\\\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\ge2\sqrt{\frac{1}{y^2z^2}}=\frac{2}{yz}\\\frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}\ge2\sqrt{\frac{1}{z^2x^2}}=\frac{2}{xz}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)\ge2\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\ge\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}+\frac{2\sqrt{y}}{y^3+z^2}+\frac{2\sqrt{z}}{z^3+x^2}\le\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\left(đpcm\right)\)
cho x+y+x=1
x^2+y^2+z^2=1
x^3+y^3+z^3=1
chứng minh rằng x+y^2+x^3=1
Cho x^2 +y^2+z^2 =1
Chứng minh X^3/(y+2*z)+y^3/(z+2*x)+z^3/(x+2*y)>=1/3
1, Phân tích thành nhân tử: 8(x + y + z)^2 - (x + y)^3 - (y + z)^3 - (z + x)^32, a, Phân tích thành nhân tử: 2x^2y^2 + 2y^2z^2 + 2z^2x^2 - x^4 - y^4 - z^4b, Chứng minh rằng nếu x, y, x là ba cạnh của 1 tam giác thì A 03, Cho x, y, x là độ dài 3 cạnh của một tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu x, y, z thỏa mãn các đẳng thức sau thì tam giác ABC là tam giác đều:a, (x + y+ z)^2 3(xy + yz + zx)b, (x + y)(y + z)(z + x) 8xyzc, (x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 (x + y - 2z)^2 + (y + z - 2x)^2 + (z +...
Đọc tiếp
1, Phân tích thành nhân tử: 8(x + y + z)^2 - (x + y)^3 - (y + z)^3 - (z + x)^3
2,
a, Phân tích thành nhân tử: 2x^2y^2 + 2y^2z^2 + 2z^2x^2 - x^4 - y^4 - z^4
b, Chứng minh rằng nếu x, y, x là ba cạnh của 1 tam giác thì A > 0
3, Cho x, y, x là độ dài 3 cạnh của một tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu x, y, z thỏa mãn các đẳng thức sau thì tam giác ABC là tam giác đều:
a, (x + y+ z)^2 = 3(xy + yz + zx)
b, (x + y)(y + z)(z + x) = 8xyz
c, (x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 = (x + y - 2z)^2 + (y + z - 2x)^2 + (z + x - 2y)^2
d, (1 + x/z)(1 + z/y)(1 + y/x) = 8
4,
a, Cho 3 số a, b, c thỏa mãn b < c; abc < 0; a + c = 0. Hãy so sánh (a + b - c)(b + c - a)(c + a -b) và (c - b)(b - a)(a - c)
b, Cho x, y, z, t là các số nguyên dương thỏa mãn x + z = y + t; xz 1 = yt. Chứng minh y = t và x, y, z là 3 số nguyên liên tiếp
5, Chứng minh rằng mọi x, y, z thuộc Z thì giá trị của các đa thức sau là 1 số chính phương
a, A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y^4
b, B = (xy + yz + zx)^2 + (x + y + z)^2 . (x^2 + y^2 + z^2)
mày hỏi vả bài kiểm tra à thằng điên
Xem thêm câu trả lời
Cho x,y,z thỏa mãn x^3-y^2-y=y^3-z^2-z=z^3-x^2-x=1/3
Chứng minh rằng x,y,z dương và x=y=z