a.

Xét hai tam giác MNP và MQP có:

\(\left\{{}\begin{matrix}MN=MQ\\NP=PQ\\MP\text{ chung}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta MNP=\Delta MQP\left(c.c.c\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{NMP}=\widehat{QMP}\\\widehat{NPM}=\widehat{QPM}\end{matrix}\right.\) hay MP là phân giác của góc M và P

b.

Do \(\left\{{}\begin{matrix}MN=MQ\\NP=PQ\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow MP\) là trung trực NQ

\(\Rightarrow MP\perp NQ\) (đpcm)

a: Xét tứ giác MQAP có 

MQ//AP

MP//AQ

Do đó: MQAP là hình bình hành

a: Xét ΔMHQ vuông tại H và ΔPKN vuông tại K có 

MQ=PN

\(\widehat{MQH}=\widehat{PNK}\)

Do đó: ΔMHQ=ΔPKN

Suy ra: MH=PK

a: Xét tứ giác MNKP có

MN//KP

MP//NK

=>MNKP là hình bình hành

=>MP=NK

mà MP=NQ

nên NK=NQ

=>ΔNKQ cân tại N

b: MNKP là hbh

=>góc K=góc NMP

=>góc K=góc MPQ

=>góc MPQ=góc NQP

Xét ΔMQP và ΔNPQ có

MP=NQ

góc MPQ=góc NQP

QP chung

=>ΔMQP=ΔNPQ

c: ΔMQP=ΔNPQ

=>góc MQP=góc NPQ

=>MNPQ là hình thang cân

a: góc NAP=góc NBP=90 độ

=>PA vuông góc MN và NB vuông góc MB

Xét ΔMNP có

NB,PA là đường cao

NB cắt PA tại H

=>H là trực tâm

=>MH vuông góc NP tại I

Xét ΔHAN vuông tại A và ΔHBP vuông tại B có

góc AHN=góc BHP

=>ΔHAN đồng dạng với ΔHBP

b: góc HIP+góc HBP=180 độ

=>HIPB nội tiếp

c: góc BAH=góc IMP

góc IAH=góc BNP

mà góc IMP=góc BNP

nên góc BAH=góc IAH

=>AH là phân giác của góc BAI

góc ABH=góc NMI

góc IBH=góc APN

mà góc NMI=góc APN

nên góc ABH=góc IBH

=>BH là phân giác của góc ABI

ta có MNPQ là hình thang=>MN//PQ

mà \(=\angle\left(NMP\right)=\angle\left(MNQ\right)=>\angle\left(NQP\right)=\angle\left(MPQ\right)\)

=>tam giác MNO cân tại O=>MO=NO

=>tam giác QOP cân tại O=>OQ=Op

=>MO+OP=NO+OQ=>NQ=MP

=>MNPQ là hình thang cân

\(=>\angle\left(M\right)=\angle\left(N\right)\left(1\right)\)

\(\angle\left(Q\right)=\angle\left(P\right)\left(2\right)\)

mà EF//PQ=>EF//MN

=>MNFE là hình thang(3)

từ (1)(3)=>MNFE là hình thang cân

=>EFPQ là hình thang(4)

(2)(4)=>EFPQ là hình thang cân

Ta có: \(\widehat{OMN}=\widehat{OPQ}\)

\(\widehat{ONM}=\widehat{OQP}\)

mà \(\widehat{OMN}=\widehat{ONM}\)

nên \(\widehat{OPQ}=\widehat{OQP}\)

Xét ΔOMN có \(\widehat{OMN}=\widehat{ONM}\)

nên ΔOMN cân tại O

Xét ΔOPQ có \(\widehat{OPQ}=\widehat{OQP}\)

nên ΔOPQ cân tại O

Ta có: OM+OP=MP

ON+OQ=QN

mà OM=ON

và OP=OQ

nên MP=QN

Hình thang MNPQ có MP=QN

nên MNPQ là hình thang cân

Suy ra: \(\widehat{EMN}=\widehat{FNM}\) và \(\widehat{EQP}=\widehat{FPQ}\)

Hình thang EMNF có \(\widehat{EMN}=\widehat{FNM}\)

nên EMNF là hình thang cân

Hình thang EQPF có \(\widehat{EQP}=\widehat{FPQ}\)

nên EQPF là hình thang cân

Hình vẽ:

Lời giải:
Áp dụng định lý Talet cho $AO\parallel MN$ thì:
$\frac{AO}{MN}=\frac{QA}{QM}(1)$

$A,O,B$ thẳng hàng nên $OB\parallel MN$. Áp dụng định lý Talet:

$\frac{OB}{MN}=\frac{PB}{PN}(2)$

Cũng vì $A,O,B$ thẳng hàng nên từ $OA\parallel MN$ suy ra $AB\parallel MN, QP$ 

$\Rightarrow \frac{OA}{QM}=\frac{PB}{PN}(3)$

Từ $(1); (2); (3)\Rightarrow \frac{OA}{MN}=\frac{OB}{MN}$

$\Rightarrow OA=OB$