a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC

nên \(AH^2=HB\cdot HC\left(1\right)\)

Xét ΔABH vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AB

nên \(AH^2=AE\cdot AB\left(2\right)\)

Xét ΔACH vuông tại H có HF là đường cao ứng với cạnh huyền AC

nên \(AH^2=AF\cdot AC\left(3\right)\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC=BH\cdot HC\)

Bài 1: 

a: BC=30cm

AH=14,4(cm)

BH=10,8(cm)

a: Xet ΔABC vuông tại A và ΔHBA vuông tại H co

góc B chung

=>ΔABC đồng dạng với ΔHBA

=>BA/BH=BC/BA

=>BA^2=BH*BC

b: \(BC=\sqrt{3^2+4^2}=5\left(cm\right)\)

AH=3*4/5=2,4cm

a) \(\Delta\)ABC vuông tại A có trung tuyến AO nên ^OAC = ^OCA. Do ^OCA = ^BAH (Cùng phụ ^HAC)

Nên ^OAC = ^BAH = ^ AEF (Do tứ giác AEHF là hcn)

Mà ^AEF + ^AFE = 90⁰ => ^OAC + ^AFE = 90⁰ => OA vuông góc EF (đpcm).

b) Biến đổi tương đương:

\(BE\sqrt{CH}+CF\sqrt{BH}=AH\sqrt{BC}\)

\(\Leftrightarrow BE\sqrt{BC.CH}+CF\sqrt{BC.BH}=AB.BC\)(Nhân mỗi vế với \(\sqrt{BC}\))

\(\Leftrightarrow BE\sqrt{AC^2}+CF\sqrt{AB^2}=AB.BC\) (Hệ thức lương)

\(\Leftrightarrow BE.AC+CF.AB=AB.BC\)

\(\Leftrightarrow BH.AH+CH.AH=AB.BC\)(Vì \(\Delta\)EBH ~ \(\Delta\)HAC; \(\Delta\)FHC ~ \(\Delta\)HBA)

\(\Leftrightarrow AH\left(BH+CH\right)=AB.BC\)

\(\Leftrightarrow AH.BC=AB.AC\) (luôn đúng theo hệ thức lượng)

Vậy có ĐPCM.

a: Ta có: BH+CH=BC

nên BC=13(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao 

nên \(AH^2=HB\cdot HC\)

hay AH=6(cm)

a) Xét tam giác BAH và tam giác CAH, có:

AH: cạnh chung

AB = AC ( tam giác ABC cân tại A )

góc AHB = góc AHC ( = 90 độ )

-> tam giác BAH = tam giác CAH ( ch-cgv )

-> HB = HC ( 2 cạnh tương ứng )

b) Xét tam giác FBH và tam giác ECH, có:

HB = HC ( cmt )

góc D = góc E ( = 90 độ )

góc B = góc C ( tam giác ABC cân tại A )

-> tam giác FBH = tam giác ECH ( ch-gn )

-> HF = HE ( 2 cạnh tương ứng )

-> tam giác HEF là tam giác cân tại H

a) Xét ΔABH vuông tại H và ΔACH vuông tại H có

AB=AC(ΔABC cân tại A)

AH chung

Do đó: ΔABH=ΔACH(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

Suy ra: BH=CH(hai cạnh tương ứng)

b) Xét ΔFHB vuông tại F và ΔEHC vuông tại E có

BH=CH(cmt)

\(\widehat{B}=\widehat{C}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)

Do đó: ΔFHB=ΔEHC(cạnh huyền-góc nhọn)

Suy ra: HF=HE(Hai cạnh tương ứng)

Xét ΔHEF có HF=HE(cmt)

nên ΔHEF cân tại H(Định nghĩa tam giác cân)

b: Xét tứ giác AEHF có

\(\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=\widehat{EAF}=90^0\)

Do đó: AEHF là hình chữ nhật