Bài 1 :

- Gọi cạnh góc vuông lớn là x,cạnh góc vuông nhỏ là y ( cm, x > y > 0 )

Theo đề bài hiệu hai cạnh góc vuông là 2 cm nên ta có phương trình :

x - y =2 ( I )

- Áp dụng định lý pi ta goc vào tam giác trên ta được :

CGV² + CGV² = CH² .,

=> \(x^2+y^2=10^2=100\left(II\right)\)

- Từ ( I ) và ( II ) ta có hệ phương trình : \(\left\{{}\begin{matrix}x-y=2\\x^2+y^2=100\end{matrix}\right.\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}y=x-2\\x^2+\left(x-2\right)^2=100\end{matrix}\right.\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}y=x-2\\x^2+x^2-4x+4=100\end{matrix}\right.\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}y=x-2\\2x^2-4x-96=0\end{matrix}\right.\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}y=x-2\\\left[{}\begin{matrix}x=8\left(TM\right)\\x=-6\left(L\right)\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

=> \(\left[{}\begin{matrix}x=8\\y=6\end{matrix}\right.\) ( TM )

Vậy độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là 8, 6 cm .

Bài 2 :

- Ta có : \(R=\frac{1}{2}\) đường chéo = \(\frac{1}{2}\) cạnh huyền .

=> Cạn huyền là 5.2 = 10 cm .

=> Diện tích hình chữ nhật đó là : xy = 6.8 = 48 ( cm² )

Vây ...

?????????????????

=D ??

c) A = x.M + (4x + 7)/(√x + 3)

= 3x/(√x + 3) + (4x + 7)/(√x + 3)

= (7x + 7)/(√x + 3)

Để A nhỏ nhất thì 7x + 7 nhỏ nhất

Mà x ≥ 0

⇒ 7x + 7 ≥ 7

⇒ GTNN của A là 7/3 khi x = 0

Câu 54:

a) Xét tứ giác AHDK có

\(\widehat{KAH}=90^0\)(\(\widehat{BAC}=90^0\),K∈AC, H∈AB)

\(\widehat{AHD}=90^0\)(DH⊥AB)

\(\widehat{AKD}=90^0\)(DK⊥AC)

Do đó: AHDK là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

b)

Ta có: AHDK là hình chữ nhật(cmt)

⇒DK//AH(hai cạnh đối trong hình chữ nhật AHDK)

Xét ΔABC có

D là trung điểm của BC(gt)

DK//AB(DK//AH, B∈AH)

Do đó: K là trung điểm của AC(định lí 1 về đường trung bình của tam giác)

Xét tứ giác AICD có

K là trung điểm của đường chéo ID(I và D đối xứng nhau qua K)

K là trung điểm của đường chéo AC(cmt)

Do đó: AICD là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Xét hình bình AICD có ID⊥AC(DK⊥AC, I∈DK)

nên AICD là hình thoi(dấu hiệu nhận biết hình thoi)

c) Để hình chữ nhật AHDK trở thành hình vuông thì AD là tia phân giác của \(\widehat{KAH}\)

hay AD là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)

Xét ΔABC có

AD là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(D là trung điểm của BC)

AD là đường phân giác ứng với cạnh BC(cmt)

Do đó: ΔABC cân tại A(định lí tam giác cân)

hay AB=AC

Vậy: Khi ΔABC có thêm điều kiện AB=AC thì AHDK trở thành hình vuông