Chứng minh rằng:
Nếu \(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2\) thì \(xy+yz+zx=0\)
Những câu hỏi liên quan
22 tháng 8 2021 lúc 14:04
Cho \(x+y+z=xyz\) và \(xy+yz+zx\ne-3\)
Chứng minh: \(\dfrac{x.\left(y^2+z^2\right)+y.\left(z^2+x^2\right)+z.\left(x^2+y^2\right)}{xy+yz+zx-3}=xyz\)
Chứng minh rằng:\(x^2+y^2+z^2-xy+yz+zx=\frac{\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2}{2}\) và \(x^2+y^2+z^2-xy+yz+zx=0\) khi nào?
Cho x + y + z khác 0 ; x = y + z . Chứng minh rằng :
\(\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2-\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)}{x^2+y^2+z^2}:\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=yz\)
Cho \(\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\xy+yz+zx=1\end{cases}}\). Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\ge3+\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{x^2}}+\sqrt{\frac{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}{y^2}}+\sqrt{\frac{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}{z^2}}\)
1111111111111111111
\(VT=\Sigma\frac{xy+yz+zx}{xy}=3+\Sigma\frac{z\left(x+y\right)}{xy}\)
Đến đây để ý \(\frac{1}{2}\left[\frac{z\left(x+y\right)}{xy}+\frac{y\left(z+x\right)}{zx}\right]\ge\sqrt{\frac{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}{x^2}}\left(\text{AM - GM}\right)\)
Là xong.
Cho x+y+z=1.Chứng minh GTBT sau không phụ thuộc vào giá trị của biến
P=\(\dfrac{\left(x+y\right)^2}{xy+z}\).\(\dfrac{\left(y+z\right)^2}{yz+x}\).\(\dfrac{\left(x+z\right)^2}{zx+y}\)\(\dfrac{\left(x+y\right)^2}{xy+z}\)
`@ x+y+z=1`.
`<=>` \(\left\{{}\begin{matrix}x=1-y-z\\y=1-z-x\\z=1-x-y\end{matrix}\right.\)
`P=(x+y)^2/(xy+1-x-y).(y+z)^2/(yz-y-z+1).(x+z)^2/(xy-x-y+1)`.
`<=> ((1-z)^2(1-y)^2(1-x)^2)/((1-x)(1-y)(1-y)(1-z)(1-z)(1-x).`
`=1.`
Vậy `P` không phụ thuộc vào giá trị của biến.
Đúng 0
Bình luận (0)
Phân tích đa thức thành nhân tử:
Chứng minh rằng: x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx = \(\dfrac{\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2}{2}\) và x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx = 0 khi nào.
Chứng minh rằng:a, nếu x+y1 thì frac{x}{y^3-1}+frac{y}{x^3-1}+frac{2left(xy-2right)}{x^2y^2+3}0 b, nếu x,y,z khác -1 thìfrac{xy+2x+1}{xy+x+y+1}+frac{yz+2y+1}{yz+z+y+1}+frac{zx+2z+1}{zx+z+x+1}3c, Cho x,y,z đôi một khác nhau thỏa mãnfrac{x}{y-z}+frac{y}{z-x}+frac{z}{x-y}0 thìfrac{x}{left(y-zright)^2}+frac{y}{left(z-xright)^2}+frac{z}{left(x-yright)^2}0
Đọc tiếp
Chứng minh rằng:
a, nếu x+y=1 thì \(\frac{x}{y^3-1}+\frac{y}{x^3-1}+\frac{2\left(xy-2\right)}{x^2y^2+3}=0\)
b, nếu x,y,z khác -1 thì\(\frac{xy+2x+1}{xy+x+y+1}+\frac{yz+2y+1}{yz+z+y+1}+\frac{zx+2z+1}{zx+z+x+1}=3\)
c, Cho x,y,z đôi một khác nhau thỏa mãn\(\frac{x}{y-z}+\frac{y}{z-x}+\frac{z}{x-y}=0\) thì\(\frac{x}{\left(y-z\right)^2}+\frac{y}{\left(z-x\right)^2}+\frac{z}{\left(x-y\right)^2}=0\)
Cho x,y,z là các số thực dương. chứng minh rằng:
\(\dfrac{xy^2\left(x+z\right)}{x+y}+\dfrac{yz^2\left(z+x\right)}{y+z}+\dfrac{zx^2\left(x+y\right)}{z+x}\ge3xyz\)
\(VT\ge3\sqrt[3]{\dfrac{x^3y^3z^3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}}=3xyz\) (dpcm)
Đúng 5
Bình luận (0)
Chứng minh rằng \(\left(x^2+2\right)\left(y^2+2\right)\left(z^2+2\right)>9\left(xy+yz+zx\right)\)
Biết rằng \(xyz>0\)
Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số \(x^2;y^2;z^2\) luôn có ít nhất 2 số cùng phía so với 1
Không mất tính tổng quát, giả sử đó là \(x^2\) và \(y^2\)
\(\Rightarrow\left(x^2-1\right)\left(y^2-1\right)\ge0\)
\(\Rightarrow x^2y^2\ge x^2+y^2-1\)
\(\Rightarrow x^2y^2+2x^2+2y^2+4\ge x^2+y^2-1+2x^2+2y^2+4\)
\(\Rightarrow\left(x^2+2\right)\left(y^2+2\right)\ge3\left(x^2+y^2+1\right)\)
\(\Rightarrow\left(x^2+2\right)\left(y^2+2\right)\left(z^2+2\right)\ge3\left(x^2+y^2+1\right)\left(1+1+z^2\right)\ge3\left(x+y+z\right)^2\ge9\left(xy+yz+zx\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;1\right);\left(-1;-1;-1\right)\)
Đúng 1
Bình luận (0)