Cho 3 số tự nhiên khác 0 là x,y,z sao cho (xy+1)(yz+1)(zx+1) là số chính phương. Chứng minh (xy+1), (yz+1), (zx+1) là 3 số chính phương
Cho các số x,y,x là 3 số nguyên thỏa mãn điều kiện xy+yz+zx=1
CHứng minh rằng (x2+1)(y2+1)(z2+1)là một số chính phương
Một bài "troll" người ta.
\(x^2+1=x^2+xy+yz+zx=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\).
Em làm tương tự rồi nhân nhau là xong đó.
chuyên đề ; Số cp
cho x,y,z thuộc Q t/m: x^2+y^2+z^2=2*(xy+yz+zx)
chứng minh:xy là bình phương của 1 số hữu tỉ (biết xy+yz+zx là bình phương của 1 số hữu tỉ) giúp mình với mọi người
Câu 1 :tìm x\(\sqrt{x-2\sqrt{3x-9}}\) =\(2\sqrt{x-3}\)
câu 2:chờ a,b,c,d là các số nguyên thỏa mãn a<b<c<d và a+b=b+c .CMR a^2 +b^2 +c^2+d^2 là tổng 3 số chính phương
câu 3 :cho tam giác vuông ABC ( A=90) ,AD là phân giác của A ( D thuộc BV chứng minh \(\frac{AD}{AB}+\frac{AD}{AC}=\sqrt{2}\)
câu4 :Tìm tất cả số tự nhiên sao cho \(n^2+17\) là số chính phương
Câu 5: cho 3 số dương x,y,z tổng =1 ,CMR : \(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}>hoặc=1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\) làm giúp mình cái ,THANK YOU SO MUCH ,làm đc bão like
CHO X,Y,Z LÀ CÁC SỐ THỰC KHÔNG ÂM THỎA MÃN X+Y+Z=3 VÀ XY+YZ+ZX KHÁC 0 . CMR :
\(\frac{x+1}{y+1}+\frac{y+1}{z+1}+\frac{z+1}{x+1}\le\frac{25}{3\sqrt[3]{4.\left(xy+yz+zx\right)}}\)
thanks in advance <3
Áp dụng BĐT AM-GM: $VP\leq \frac{25}{yz+zx+xy+4}$
Cần c/m: $\frac{x+1}{y+1}+\frac{y+1}{z+1}+\frac{z+1}{x+1}$\leq \frac{25}{yz+zx+xy+4}$
$\Leftrightarrow (yz+zx+xy)(xy^{2}+yz^{2}+zx^{2})+4(xy^{2}+yz^{2}+zx^{2})\leq 25xyz+4(yz+zx+xy)+16$
BĐT trên sẽ được c/m nếu c/m được: $xy^{2}+yz^{2}+zx^{2}\leq 4$.
KMTTQ, g/sử y nằm giữa x và z. $\Rightarrow x(x-y)(y-z)\geq 0$
$\Leftrightarrow xy^{2}+yz^{2}+zx^{2}\leq y(x^{2}+xz+z^{2})\leq y(x+z)^{2}$
Đến đây áp dụng BĐT AM-GM:
$y(x+z)^{2}=4.y.(\frac{x+z}{2})(\frac{x+z}{2})\leq \frac{4(y+\frac{x+z}{2}+\frac{x+z}{2})^{3}}{27}=\frac{4(x+y+z)^{3}}{27}=4$ (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi, chẳng hạn $x=0;y=1;z=2$
Áp dụng BĐT AM-GM và BĐT Rearrangement ta có:
\(VT=\frac{x+1}{y+1}+\frac{y+1}{z+1}+\frac{z+1}{x+1}\)
\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2+3\left(x+y+z\right)+xy^2+yz^2+zx^2+3}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\)\(\le\frac{21+y\left(x+z\right)^2}{3\sqrt[3]{4\left(xy+yz+xz\right)}}\le\frac{21+\frac{\left(\frac{2\left(x+y+z\right)}{3}\right)^3}{2}}{3\sqrt[3]{4\left(xy+yz+zx\right)}}=\frac{21+4}{3\sqrt[3]{4\left(xy+yz+zx\right)}}=\frac{25}{3\sqrt[3]{4\left(xy+yz+zx\right)}}\)
Dấu "=" xảy ra <=> (x;y;z)=(2;1;0) và hoán vị của nó
xml hkjmf,gkjbhvn jbkvmcbnvdyjxnbv hjgfvchjwbfhyergfvyug h ghbf vchdsvhdc ghv eucbtrgvtcfrtfvgtcb tybk cjvh dgsx hjutygfvhyfhefrd cr fb kosciugyrturikjht54tr273r6734vn cjhvdfbv dfjbgerutjh37347t567 t gn fvbrhkjbfghty 66u 67gfbrhtb vbnbdffrhg ';\ hvgn hvbhzxn cb gvfycbher 74y6t5rbfvnhsgt hbgvdhcvhjgey6t5u gewytdfjbxjhdv bn 6t5675t47t5648b gryjhvdhybgfvdghv d vdfstrcdgvcc ghfvdshvh bbv3rt364tr bgryjhvbnh vznhbbcv nbmhfbvdghbv mhdfbdschmaewugugf ygvrfyug s g dg vyga4ut53746r87hyu rf5ygygcsrbv sdbv x vc bgyergty4gfytrfygtyfgrgyfyjugrfauygfugdv euygt674y4375y74
Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn xy+yz+zx+2xyz=1. Chứng minh rằng : x+y+z>=3/2
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$1=xy+yz+xz+2xyz\leq \frac{(x+y+z)^2}{3}+2.\frac{(x+y+z)^3}{27}$
$\Leftrightarrow 1\leq \frac{t^2}{3}+\frac{2t^3}{27}$ (đặt $x+y+z=t$)
$\Leftrightarrow 2t^3+9t^2-27\geq 0$
$\Leftrightarrow (t+3)^2(2t-3)\geq 0$
$\Leftrightarrow 2t-3\geq 0$
$\Leftrightarrow t\geq \frac{3}{2}$ hay $x+y+z\geq \frac{3}{2}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{2}$
cho x,y,z là số thực không âm thỏa mãn x+y+z=1 chứng minh rằng : 0 =< xy+yz+zx - 2xyz≤7/27
\(P=xy+yz+zx-2xyz=\left(xy+yz+zx\right)\left(x+y+z\right)-2xyz\)
\(P=xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+zx\left(z+x\right)+xyz\ge0\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;1\right)\) và hoán vị
Do vai trò của x;y;z là như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử \(z=min\left\{x;y;z\right\}\Rightarrow z\le\dfrac{1}{3}\)
\(P=xy\left(1-2z\right)+z\left(x+y\right)=xy\left(1-2z\right)+z\left(1-z\right)\)
\(P\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\left(1-2z\right)+z\left(1-z\right)=\dfrac{\left(1-z\right)^2\left(1-2z\right)}{4}+z\left(1-z\right)\)
\(P\le\dfrac{1+z^2-2z^3}{4}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{z.z.\left(1-2z\right)}{4}\le\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{27.4}\left(z+z+1-2z\right)^3=\dfrac{7}{27}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
Cho các số thực không âm thỏa mãn x+y+z=3 và xy+yz+zx≠0
Chứng minh rằng \(\frac{x+1}{y+1}+\frac{y+1}{z+1}+\frac{z+1}{x+1}\le\frac{25}{3\sqrt[3]{4xy+yz+zx}}\)
Sửa đề VP là \(\frac{25}{3\sqrt[3]{4\left(xy+yz+zx\right)}}\).
Tham khảo:[TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUYÊN VÀ HSG TỈNH}}$ NĂM HỌC 2019-2020 - Trang 2 - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học
cho x, y, z khác 1 chứng minh giá trị sau không phụ thuộc vào biến x, y, z.( xy+2x+1/xy+x+y+1)+(yz+2y+1/yz+y+z+1)+(zx+2z+1/zx+z+x+1)
Sửa lại đề là x;y;z khác -1.
\(A=\frac{xy+2x+1}{xy+x+y+1}+\frac{yz+2y+1}{yz+y+z+1}+\frac{zx+2z+1}{zx+z+x+1}=\)
\(A=\frac{x\left(y+1\right)+x+1}{x\left(y+1\right)+y+1}+\frac{y\left(z+1\right)+y+1}{y\left(z+1\right)+z+1}+\frac{z\left(x+1\right)+z+1}{z\left(x+1\right)+x+1}=\)
\(A=\frac{x\left(y+1\right)+x+1}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}+\frac{y\left(z+1\right)+y+1}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}+\frac{z\left(x+1\right)+z+1}{\left(z+1\right)\left(x+1\right)}=\)vì x;y;z khác -1 nên:
\(A=\frac{x}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{1}{z+1}+\frac{z}{z+1}+\frac{1}{x+1}=\)
\(A=\frac{x}{x+1}+\frac{1}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{z}{z+1}+\frac{1}{z+1}=\frac{x+1}{x+1}+\frac{y+1}{y+1}+\frac{z+1}{z+1}=1+1+1=3\)
A = 3 với mọi x;y;z khác -1 nên A không phụ thuộc vào x;y;z. đpcm
Cho các số dương x,y,z thỏa mãn \(xy+yz+zx=1\)
Chứng minh rằng \(\dfrac{x}{1+yz}+\dfrac{y}{1+zx}+\dfrac{z}{1+xy}\ge\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\)
Ta có: \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)\ge9xyz\)
\(VT=\dfrac{x}{1+yz}+\dfrac{y}{1+xz}+\dfrac{z}{1+xy}\)
\(=\dfrac{x^2}{x+xyz}+\dfrac{y^2}{y+xyz}+\dfrac{z^2}{z+xyz}\)
\(\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3xyz}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\dfrac{\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)}{3}}\)
\(=\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{4}\). Cần chứng minh:
\(\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{4}\ge\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\Leftrightarrow x+y+z\ge\sqrt{3}\)
BĐT cuối đúng vì \(x+y+z\ge\sqrt{3\left(xy+yz+xz\right)}=\sqrt{3}\)
\("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
Ps: nospoiler