\(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge a^4+b^4+c^4+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)

\(\ge a^4+b^4+c^4+a^2b^2-2abc^2\)

\(=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^4+b^4+\left(c^2-ab\right)^2\right)\)

\(\ge\left(a^3+b^3+c\left(c^2-ab\right)\right)^2\)

\(=\left(a^3+b^3+c^3-abc\right)^2\ge\left(a^3+b^3+c^3-3abc\right)^2=1\)

\(\Rightarrow B\ge1\)

Lời giải:

$a^3+b^3+c^3-3abc=1$

$\Leftrightarrow (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=1$

Đặt $a+b+c=x; a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=y$ với $x,y>0$

Khi đó, đề bài trở thành: Cho $x,y>0$ thỏa mãn: $xy=1$

Tìm min $P=\frac{x^2+2y}{3}$

Áp dụng BĐT AM-GM: 

$P=\frac{x^2+y+y}{3}\geq \frac{3\sqrt[3]{x^2y^2}}{3}=\frac{3}{3}=1$

Vậy $P_{\min}=1$

1. Ta có : \(\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2\ge0\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab}\)

Tương tự :  \(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{2}{bc}\); \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{2}{ac}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\). Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b = c

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)=9\)

\(9\le3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge3\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b = c = 1

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=7\)\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)=49\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2.\frac{a+b+c}{abc}=49\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=49\)

Xét hiệu \(A=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-\frac{b}{c}-\frac{c}{b}-\frac{a}{c}\)

\(\frac{a^2c+b^2a+c^2b-b^2c-c^2a-a^2b}{abc}\)

\(\frac{\left(c-b\right)\left(a-c\right)\left(a-b\right)}{abc}\)

Ta thấy c -b \(\ge\)0 ; a - c \(\le\)0 ; a - b \(\le\)0 nên ( c - b ) ( a - c ) ( a - b )\(\ge\)0

Mà abc > 0 nên A \(\ge\)0 => ....

Ta có: \(a\left(a-b\right)+b\left(b-c\right)+c\left(c-a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(a\left(a-b\right)-b\left(a-b+c-a\right)+c\left(c-a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(a\left(a-b\right)-b\left(a-b\right)-b\left(c-a\right)+c\left(c-a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-b\right)^2+\left(c-a\right)\left(c-b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a-b=0\\\left(c-a\right)\left(c-b\right)=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)

Thế a = b = c vào A ta được:

\(A=3^3-3a^3+3a^2-3a+5\)

\(A=3\left(a^2-a+\frac{5}{3}\right)\)

\(A=3\left[\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{17}{12}\right]\)

\(A=3\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{17}{4}\ge\frac{17}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)

Vậy GTNN của A là 17/4 khi a = b = c = 1/2

Ta có: \(a\left(a-b\right)+b\left(b-c\right)+c\left(c-a\right)=0\)

<=> \(a^2+b^2+c^2-ac-bc-ab=0\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ac-2bc-2ab=0\)

<=> \(\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)=0\)

<=> \(\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2=0\)

<=> \(\left(a-b\right)^2=0,\left(b-c\right)^2=0,\left(a-c\right)^2=0\)

<=> a=b=c

Thế vào ta có biểu thức:

A=\(3a^3-3a^3+3a^2-3a+5=3\left(a^2-a+\frac{5}{3}\right)=3\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{17}{4}\ge\frac{17}{4}\)

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=17/4 

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1/2

1) \(\left\{{}\begin{matrix}a^3+b^3+c^3=3abc\\a+b+c\ne0\end{matrix}\right.\)  \(\left(a;b;c\in R\right)\)

Ta có :

\(a^3+b^3+c^3\ge3abc\) (Bất đẳng thức Cauchy)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\left(a^3+b^3+c^3=3abc\right)\)

Thay \(a=b=c\) vào \(P=\dfrac{a^2+2b^2+3c^2}{3a^2+2b^2+c^2}\) ta được

\(\Leftrightarrow P=\dfrac{6a^2}{6a^2}=1\)

\(3^x=y^2+2y\left(x;y>0\right)\)

\(\Leftrightarrow3^x+1=y^2+2y+1\)

\(\Leftrightarrow3^x+1=\left(y+1\right)^2\left(1\right)\)

- Với \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.\)

\(pt\left(1\right)\Leftrightarrow3^0+1=\left(0+1\right)^2\Leftrightarrow2=1\left(vô.lý\right)\)

- Với \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\)  

\(pt\left(1\right)\Leftrightarrow3^1+1=\left(1+1\right)^2=4\left(luôn.luôn.đúng\right)\)

- Với \(x>1;y>1\)

\(\left(y+1\right)^2\) là 1 số chính phương

\(3^x+1=\overline{.....1}+1=\overline{.....2}\) không phải là số chính phương

\(\Rightarrow\left(1\right)\) không thỏa với \(x>1;y>1\)

Vậy với \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\) thỏa mãn đề bài