Áp dụng Bat đẳng thức C.B.S dạng Angel

Dấu bằng xảy ra khi a=2;b=1;c=1

\(2ab+6bc+2ac=7abc\Rightarrow\dfrac{6}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}=7\)

Đặt \(\left(\dfrac{2}{a};\dfrac{1}{b};\dfrac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow3x+2y+2z=7\)

\(C=\dfrac{4}{\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}}+\dfrac{9}{\dfrac{4}{a}+\dfrac{1}{c}}+\dfrac{4}{\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}}=\dfrac{4}{x+y}+\dfrac{9}{2x+z}+\dfrac{4}{y+z}\)

\(C\ge\dfrac{\left(2+3+2\right)^2}{x+y+2x+z+y+z}=\dfrac{49}{7}=7\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\) hay \(\left(a;b;c\right)=\left(2;1;1\right)\)

1 . 

Từ gt : \(2ab+6bc+2ac=7abc\)và \(a,b,c>0\)

Chia cả hai vế cho abc > 0 

\(\Rightarrow\frac{2}{c}+\frac{6}{a}+\frac{2}{b}=7\)

Đặt \(x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\2z+6x+2y=7\end{cases}}\)

Khi đó : \(C=\frac{4ab}{a+2b}+\frac{9ac}{a+4c}+\frac{4bc}{b+c}\)

\(=\frac{4}{2x+y}+\frac{9}{4x+z}+\frac{4}{y+z}\)

\(\Rightarrow C=\frac{4}{2x+y}+2x+y+\frac{9}{4x+z}+4x+z+\frac{4}{y+z}+y+z\)\(-\left(2x+y+4x+z+y+z\right)\)

\(=\left(\frac{2}{\sqrt{x+2y}}-\sqrt{x+2y}\right)^2+\left(\frac{3}{\sqrt{4x+z}}-\sqrt{4x+z}\right)^2\)\(+\left(\frac{2}{\sqrt{y+z}}-\sqrt{y+z}\right)^2+17\ge17\)

Khi \(x=\frac{1}{2},y=z=1\)thì \(C=17\)

Vậy GTNN của C là 17 khi a =2; b =1; c = 1

2 . 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :\(1+b^2\ge2b\)nên 

\(\frac{a+1}{1+b^2}=\left(a+1\right)-\frac{b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}\)

\(\ge\left(a+1\right)-\frac{b^2\left(a+1\right)}{2b}=a+1-\frac{ab+b}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+1}{1+b^2}\ge a+1-\frac{ab+b}{2}\left(1\right)\)

Tương tự ta có:

\(\frac{b+1}{1+c^2}\ge b+1-\frac{bc+c}{2}\left(2\right)\)

\(\frac{c+1}{1+a^2}\ge c+1-\frac{ca+a}{2}\left(3\right)\)

Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta được: 

\(\frac{a+1}{1+b^2}+\frac{b+1}{1+c^2}+\frac{c+1}{1+a^2}\ge3+\frac{a+b+c-ab-bc-ca}{2}\left(^∗\right)\)

Mặt khác : \(3\left(ab+bc+ca\right)\le\left(a+b+c\right)^2=9\)

\(\Rightarrow\frac{a+b+c-ab-bc-ca}{2}\ge0\)

Nên \(\left(^∗\right)\) \(\Leftrightarrow\frac{a+1}{1+b^2}+\frac{b+1}{1+c^2}+\frac{c+1}{1+a^2}\ge3\left(đpcm\right)\)

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)

Chúc bạn học tốt !!!

aaaaaaaaaaaaa

Ta có:

\(2ab+6bc+2ca=7abc\)

Chia cả hai vế của phương trình trên cho  \(abc>0\), ta được:

\(\frac{6}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}=7\)

Đặt  \(x=\frac{2}{a};\)  \(y=\frac{1}{b};\)  và  \(z=\frac{1}{c}\)  \(\Rightarrow\)  \(\hept{\begin{cases}x,y,z\in Z_+\\3x+2y+2z=7\end{cases}}\)

Khi đó, ta biểu diễn biểu thức  \(C\) dưới dạng ba biến  \(x,y,z\)  như sau:

\(C=\frac{4ab}{a+2b}+\frac{9ca}{a+4c}+\frac{4bc}{b+c}=\frac{4}{x+y}+\frac{9}{z+2x}+\frac{4}{y+z}\)

nên  \(C=\left[\frac{4}{x+y}+\left(x+y\right)\right]+\left[\frac{9}{z+2x}+\left(z+2x\right)\right]+\left[\frac{4}{y+z}+\left(y+z\right)\right]-\left(3x+2y+2z\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức  \(AM-GM\) cho từng bộ số trong ngoặc luôn dương, ta có:

\(C\ge4+6+4-7=7\) (do  \(3x+2y+2z=7\) )

Dấu  \("="\)  xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(\hept{\begin{cases}\frac{4}{x+y}=x+y\\\frac{9}{z+2x}=z+2x\\\frac{4}{y+z}=y+z\end{cases}}\)  \(\Leftrightarrow\)  \(x=y=z=1\)

Do đó,  \(a=2;\)  và  \(y=z=1\)

Vậy,  \(GTNN\)  của  \(C\)  đạt được là  \(7\)  \(\Leftrightarrow\)  \(\hept{\begin{cases}x=2\\y=z=1\end{cases}}\)

Ta có:

\(2ab+6bc+2ca=7abc\)

Chia cả hai vế của phương trình trên cho  \(abc>0\), ta được:

\(\frac{6}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}=7\)

Đặt  \(x=\frac{2}{a};\)  \(y=\frac{1}{b};\)  và  \(z=\frac{1}{c}\)  \(\Rightarrow\)  \(\hept{\begin{cases}x,y,z\in Z_+\\3x+2y+2z=7\end{cases}}\)

Khi đó, ta biểu diễn biểu thức  \(C\) dưới dạng ba biến  \(x,y,z\)  như sau:

\(C=\frac{4ab}{a+2b}+\frac{9ca}{a+4c}+\frac{4bc}{b+c}=\frac{4}{x+y}+\frac{9}{z+2x}+\frac{4}{y+z}\)

nên  \(C=\left[\frac{4}{x+y}+\left(x+y\right)\right]+\left[\frac{9}{z+2x}+\left(z+2x\right)\right]+\left[\frac{4}{y+z}+\left(y+z\right)\right]-\left(3x+2y+2z\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức  \(AM-GM\) cho từng bộ số trong ngoặc luôn dương, ta có:

\(C\ge4+6+4-7=7\) (do  \(3x+2y+2z=7\) )

Dấu  \("="\)  xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(\hept{\begin{cases}\frac{4}{x+y}=x+y\\\frac{9}{z+2x}=z+2x\\\frac{4}{y+z}=y+z\end{cases}}\)  \(\Leftrightarrow\)  \(x=y=z=1\)

Do đó,  \(a=2;\)  và  \(y=z=1\)

Vậy,  \(GTNN\)  của  \(C\)  đạt được là  \(7\)  \(\Leftrightarrow\)  \(\hept{\begin{cases}x=2\\y=z=1\end{cases}}\)

\(P=\frac{4}{\frac{1}{b}+\frac{2}{a}}+\frac{9}{\frac{1}{c}+\frac{4}{a}}+\frac{4}{\frac{1}{c}+\frac{1}{b}}\)

Theo Cauchy-Schwarz, ta có:

\(P\) ≥ \(\frac{49}{\frac{6}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}}=\frac{49}{\frac{2ab+6bc+2ac}{abc}}=7\)

Do đó \(MinP:=7.\) Đẳng thức xảy ra khi

{\(\frac{2}{\frac{1}{b}+\frac{2}{a}}=\frac{3}{\frac{1}{c}+\frac{4}{a}}=\frac{2}{\frac{1}{c}+\frac{1}{b}}\)

\(2ab+6bc+2ac=7abc\)

Dễ thấy rằng \(\left(a,b,c\right)=\left(2,1,1\right)\) thỏa hệ trên.

\(2ab+6bc+2ac=7abc\Rightarrow\frac{6}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}=7\)

\(A=\frac{4}{\frac{1}{b}+\frac{2}{a}}+\frac{9}{\frac{1}{c}+\frac{4}{a}}+\frac{4}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\ge\frac{\left(2+3+2\right)^2}{\frac{1}{b}+\frac{2}{a}+\frac{1}{c}+\frac{4}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}=\frac{49}{\frac{6}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}}=\frac{49}{7}=7\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=c=1\end{matrix}\right.\)

\(C=\frac{4ab}{a+2b}+\frac{9ac}{4c+a}+\frac{4bc}{b+c}=\frac{4abc}{ac+2bc}+\frac{9abc}{4bc+ab}+\frac{4abc}{ab+ac}\)

\(\ge\frac{\left(2\sqrt{abc}+3\sqrt{abc}+2\sqrt{abc}\right)^2}{ac+2bc+4bc+ab+ab+ac}=\frac{49abc}{2ac+6bc+2ab}=7\)

Xin bổ sung cách sau, bn có thể tham khảo thêm

:\(GT\Leftrightarrow\frac{2}{c}+\frac{6}{a}+\frac{2}{b}=7\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{c}=x\\\frac{1}{b}=y\\\frac{3}{a}=z\end{cases}}\) Ta có: \(2\left(x+y+z\right)=7\)

Suy ra \(C=\frac{4}{4y+\frac{2z}{3}}+\frac{9}{x+\frac{4z}{3}}+\frac{4}{x+y}\ge\frac{\left(2+3+2\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=7\) (Bdt Cauchy-Schwarz)

Dấu = khi \(\hept{\begin{cases}a=2\\b=c=1\end{cases}}\)

Ta có \(2ab+6bc+2ca=7abc\Leftrightarrow\frac{6}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}=7\)

Ta có:

\(C=\frac{4ab}{a+2b}+\frac{9ac}{a+4c}+\frac{4bc}{b+c}=\frac{2^2}{\frac{1}{b}+\frac{2}{a}}+\frac{3^2}{\frac{1}{c}+\frac{4}{a}}+\frac{2^2}{\frac{1}{c}+\frac{1}{b}}\ge\frac{\left(2+3+2\right)^2}{\frac{6}{b}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}}=\frac{49}{7}=7\)

Vậy \(Min_C=7\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=2b=2c\\\frac{6}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}=7\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=2\\b=c=1\end{cases}}}\)

Ta có:

\(M=\dfrac{4ab}{a+2b}+\dfrac{9ac}{a+4c}+\dfrac{4bc}{b+c}\)

\(=\dfrac{4}{\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{a}}+\dfrac{9}{\dfrac{1}{c}+\dfrac{4}{a}}+\dfrac{4}{\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{b}}\)

\(\ge\dfrac{\left(2+3+2\right)^2}{\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{4}{a}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{b}}=\dfrac{49}{\dfrac{2}{b}+\dfrac{6}{a}+\dfrac{2}{c}}=\dfrac{49}{\dfrac{2ab+6bc+2ac}{abc}}=\dfrac{49}{7}=7\)

Vậy GTNN là M = 7 khi \(\left(a,b,c\right)=\left(2,1,1\right)\)