Cái bài này thì có lẽ bạn nên chứng minh AM⊥FE là nó ra liền à

Tứ giác AEHF là hình chữ nhật (3 góc vuông) \(\Rightarrow HE=AF\) và \(AE=HF\)

\(S_{ABC}=S_{ABH}+S_{ACH}=\dfrac{1}{2}HE.AB+\dfrac{1}{2}HF.AC=\dfrac{1}{2}AB.AF+\dfrac{1}{2}AC.AE\)

Gọi K là trung điểm AB \(\Rightarrow MK\) là đường trung bình tam giác ABC \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MK=\dfrac{1}{2}AC\\MK\perp AB\end{matrix}\right.\)

Gọi D là trung điểm AC \(\Rightarrow MD\) là đtb tam giác ABC \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MD=\dfrac{1}{2}AB\\MD\perp AC\end{matrix}\right.\)

\(S_{AEMF}=S_{ABC}-\left(S_{BME}+S_{CMF}\right)=S_{ABC}-\left(\dfrac{1}{2}MK.BE+\dfrac{1}{2}MD.CF\right)\)

\(=S_{ABC}-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}AC.\left(AB-AE\right)+\dfrac{1}{2}AB.\left(AC-AF\right)\right)\)

\(=S_{ABC}-\dfrac{1}{2}\left(AB.AC-\left(\dfrac{1}{2}AC.AE+\dfrac{1}{2}AB.AF\right)\right)\)

\(=S_{ABC}-\dfrac{1}{2}\left(2S_{ABC}-S_{ABC}\right)=\dfrac{1}{2}S_{ABC}\) (đpcm)

Lời giải:
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông đối với tam giác vuông $AHB$, đường cao $HE$:

$EA.EB=HE^2$
Tương tự: $FA.FC=HF^2$

$\Rightarrow EA.EB+FA.FC=HE^2+HF^2=EF^2(1)$ (định lý Pitago)

Mặt khác: Dễ thấy $HEAF$ là hình chữ nhật do có 3 góc $\widehat{E}=\widehat{A}=\widehat{F}=90^0$

$\Rightarrow EF=HA$

$\Rightarrow EF^2=HA^2(2)$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABC$:

$AH^2=HB.HC(3)$

Từ $(1);(2); (3)\Rightarrow EA.EB+FA.FC=HB.HC$ (đpcm)

Hình vẽ:

a: Xét ΔCKA vuông tại K có KI là đường cao ứng với cạnh huyền AC

nên \(CI\cdot CA=CK^2\left(1\right)\)

Xét ΔCKB vuông tại K có KH là đường cao ứng với cạnh huyền BC

nên \(CH\cdot CB=CK^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(CI\cdot CA=CH\cdot CB\)

Xét tứ giác ADHE có

\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)

=>ADHE là hình chữ nhật

ΔHDB vuông tại D có DK là trung tuyến

nên KH=KB=KD

ΔHEC vuông tại E có EI là trung tuyến

nên EI=IH=IC

\(\widehat{IED}=\widehat{IEH}+\widehat{DEH}\)

\(=\widehat{IHE}+\widehat{DAH}\)

\(=\widehat{HAB}+\widehat{HBA}=90^0\)

=>IE vuông góc ED(1)

\(\widehat{KDE}=\widehat{KDH}+\widehat{EDH}\)

\(=\widehat{KHD}+\widehat{EAH}=\widehat{HAC}+\widehat{HCA}=90^0\)

=>KD vuông góc DE(2)

Từ (1), (2) suy ra DKIE là hình thang vuông

\(S_{DKIE}=\dfrac{1}{2}\left(DK+EI\right)\cdot ED\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot AH\cdot\left(\dfrac{1}{2}HC+\dfrac{1}{2}HB\right)\)

\(=\dfrac{1}{4}\cdot AH\cdot BC\)

=>\(\dfrac{S_{DKIE}}{S_{ABC}}=\dfrac{1}{4}:\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\)

b: Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABH vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:

\(BE\cdot BA=BH^2\)

hay \(BE=\dfrac{BH^2}{BA}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔACH vuông tại H có HF là đường cao ứng với cạnh huyền CA, ta được:

\(CF\cdot CA=CH^2\)

hay \(CF=\dfrac{CH^2}{CA}\)

Ta có: \(\dfrac{BE}{CF}=\dfrac{BH^2}{AB}:\dfrac{CH^2}{CA}\)

\(=\dfrac{BH^2}{CH^2}\cdot\dfrac{AC}{AB}\)

\(=\dfrac{AB^4\cdot AC}{AC^4\cdot AC}=\dfrac{AB^3}{AC^3}\)