Pt hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: 2x² = -x + 6 <=> 2x² + x - 6 = 0

\(\Delta=1^2+4.6.1=25>0\) 

=> pt có 2 nghiệm pb : x₁ = -2; x₂ = 3/2 (vì x1 < x2)

x₁ = -2 => y₁ = 2.(-2)² = 8

x₂ = 3/2 => y₂ = 2. (3/2)² = 9/2

Do đó: 4x₂ + y₁ = 4.3/2 + 8 = 14

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(x^2-2x-3=x-m\)

\(\Leftrightarrow x^2-3x+m-3=0\left(1\right)\)

\(\left(d\right)\) cắt \(\left(P\right)\) tại hai điểm phân biệt nằm cùng một phía với trục tung khi phương trình \(\left(1\right)\) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\x_1x_2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}21-4m>0\\m-3>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow3< m< \dfrac{21}{4}\)

Theo định lí Vi-et: \(x_1+x_2=3\Rightarrow x_2=3-x_1\)

\(x^2_2=16x^2_1\)

\(\Leftrightarrow\left(3-x_1\right)^2=16x^2_1\)

\(\Leftrightarrow x_1^2-6x_1+9=16x^2_1\)

\(\Leftrightarrow15x_1^2+6x_1-9=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=-1\\x_1=\dfrac{3}{5}\end{matrix}\right.\)

Nếu \(x_1=-1\Rightarrow m=-1\left(l\right)\)

Nếu \(x_1=\dfrac{3}{5}\Rightarrow m=\dfrac{111}{25}\left(tm\right)\)

Vậy \(m=\dfrac{111}{25}\)

nên ta có : \(x_1y_1+x_2y_2=0\Leftrightarrow x_1^3+x_2^3=0\)\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)\left(\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left(2m-1\right)\left[\left(2m-1\right)^2-3m+6\right]=0\)

2. Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = 2(m – 1)x + m² + 2m (m là tham số, m ∈ R )

a) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B?

b) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A và B trên trục hoành.

Tìm m sao cho: OH² + OK² = 6     mọi người hướng dẫ mk ý b vs

PTHĐGĐ là;

x^2-3x-m^2+1=0

Δ=(-3)^2-4(-m^2+1)=4m^2-4+9=4m^2+5>0

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

TH1: x1>0; x2>0

=>x1+2x2=3

mà x1+x2=3

nên x1=1; x2=1

x1*x2=-m^2+1

=>-m^2+1=1

=>m=0

TH2: x1<0; x2>0

=>-x1+2x2=3 và x1+x2=3

=>x1=1; x2=2

x1*x2=-m^2+1

=>-m^2+1=2

=>-m^2-1=0(loại)

TH2: x1>0; x2<0

=>x1-2x2=0 va x1+x2=3

=>x1=2 và x2=1

x1*x2=-m^2+1

=>-m^2+1=2

=>-m^2=1(loại)

TH3: x1<0; x2<0

=>-x1-2x2=3 và x1+x2=3

=>x1=9 và x2=-6

x1*x2=-m^2+1

=>-m^2+1=-54

=>-m^2=-55

=>\(m=\pm\sqrt{55}\)

a: Thay x=-1 và y=3 vào (d), ta được:

-2-m+1=3

=>-1-m=3

=>m+1=-3

hay m=-4

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm (d) và (P)

           \(x^2 = 2(m+1)x - 4\)

     \(<=> x^2 -2(m+1) + 4 = 0\) (1)

có \(\Delta' = [-(m+1)]^2 -4\)

\(\Delta' = (m+1)^2- 4\)

(d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt

<=> Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

<=> \(\Delta' \)> 0

<=> \((m + 1)^2 - 4 >0\)

<=> \((m+1)^2 >4\)

<=> \(\left[ \begin{array}{l}m+1 > 2\\m+1 <- 2\end{array} \right. \)

\(<=> \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < -3\end{array} \right. \)

b) Vì x₁;x₂ là hoành độ giao điểm của (d) và (P)

nên x₁;x₂ là hai nghiệm của phương trình (1)
Áp dụng hệ thức Viet có x₁ + x₂ = 2(m+1)

                                        x₁x₂ = 4

Mà \(\sqrt{x_1} - \sqrt{x_2} = 2\)(x₁;x₂ \(\geq \) 0)

=> \((\sqrt{x_1} - \sqrt{x_2})^2 = 4\)

<=> x₁ - 2x₁x₂ + x₂ = 4

<=> (x₁ + x₂) - 2x₁x₂=4

<=> 2(m+1) - 2.4 = 4

<=> 2m + 2 - 8 = 4

<=> 2m = 10

<=> m = 5 (T/m)

a) pt hoành độ giao điểm: \(x^2-2x+3-m^2=0\) 

Để đường thẳng d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thì \(\Delta'>0\)

\(\Delta'=1+m^2-3\Rightarrow m^2-2>0\Rightarrow\left|m\right|>\sqrt{2}\)

b) Gọi giao điểm là \(A\left(x_1,y_1\right);B\left(x_2,y_2\right)\)

\(\Rightarrow A\left(x_1,x_1^2\right);B\left(x_2,x_2^2\right)\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_1x_2=3-m^2\end{matrix}\right.\)

Theo đề: \(y_1-y_2=8\Rightarrow x_1^2-x_2^2=8\Rightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)=8\)

\(\Rightarrow x_1-x_2=4>0\)

Ta có: \(\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=4m^2-8\)

\(\Rightarrow x_1-x_2=\sqrt{4m^2-8}\left(x_1-x_2>0\right)\Rightarrow4=\sqrt{4m^2-8}\)

\(\Rightarrow4m^2-8=16\Rightarrow m=\pm\sqrt{6}\)

a: PTHĐGĐ là:

x^2-2x-|m|-1=0

a*c=-|m|-1<0

=>(d)luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

b: Bạn bổ sung lại đề đi bạn