Từng câu thôi bạn!

Ta có: a+b+c=0

a³ + a^2c - abc + b^2c + b³

=(a³+a^2b+a^2c)-(a^2b+ab²+abc)+(b^2c+b³+ab²)

=a²(a+b+c)-ab(a+b+c)+b²(a+b+c)

=0

Đề bài : Cho \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\left(a,b,c\ne0\right)\)và  \(M=\frac{b^2c^2}{a}+\frac{c^2a^2}{b}+\frac{a^2b^2}{c}\)

Chứng minh M=3abc.

Trước tiên, ta chứng minh bài toán phụ : Cho x+y+z=0 . Chứng minh \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)

Giải bài toán phụ như sau : Ta có : \(x+y+z=0\Rightarrow z=-\left(x+y\right)\Rightarrow z^3=-\left[x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)\right]\)

\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3=-3xy\left(x+y\right)=-3xy\left(-z\right)\)

\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz\)

Áp dụng vào bài đã cho, ta suy ra : \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\)

Do đó : \(M=\frac{b^2c^2}{a}+\frac{c^2a^2}{b}+\frac{a^2b^2}{c}=\frac{a^2b^2c^2}{a^3}+\frac{a^2b^2c^2}{b^3}+\frac{a^2b^2c^2}{c^3}=a^2b^2c^2\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)=a^2b^2c^2.\frac{3}{abc}=3abc\)Vậy \(M=3abc\)(đpcm)

Cảm ơn bạn nha :*

Không có chi :))

Chúc bạn học tốt ! ^.^

Bình phương 2 vế a+b+c=0, tính được ab+bc+ca=-1/2.

Bình phương 2 vế ab+bc+ca=-1/2, tính được (ab)²+(bc)²+(ca)²=1/4

Bình phương 2 vế a²+b²+c²=1, ta có:

                  a⁴+b⁴+c⁴+2[(ab)²+(bc)²+(ac)²]=1

           <=> a⁴+b⁴+c⁴+1/2=1

           <=> M=1/2

Ta có: a+b+c=0

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ac\right)=0-1=-1\)

hay \(ab+bc+ac=-\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ac\right)^2=\dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+2ab^2c+2abc^2+2a^2bc=\dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+2abc\left(b+c+a\right)=\dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2=\dfrac{1}{4}\)

Ta có: \(M=a^4+b^4+c^4\)

\(\Leftrightarrow M=a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2-2a^2b^2-2a^2c^2-2b^2c^2\)

\(\Leftrightarrow M=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2\right)\)

\(\Leftrightarrow M=1^2-2\cdot\dfrac{1}{4}=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\)

Vậy: \(M=\dfrac{1}{2}\)

Ta có : \(a+b+c=0\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ac\right)=1\) ( * )

\(\Rightarrow ab+bc+ac=-\dfrac{1}{2}\)

Lại có : \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=4\left(ab+bc+ca\right)^2\) ( suy ra từ * )

\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4=2\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{2}\)

Vậy ...

Với a, b ∈ Z, b> 0

- Khi a , b cùng dấu thì \(\frac{a}{b}\)> 0

- Khi a,b khác dấu thì \(\frac{a}{b}\)< 0

Tổng quát: Số hữu tỉ  \(\frac{a}{b}\) ( a,b ∈ Z, b # 0) dương nếu a,b cùng dấu, âm nếu a, b khác dấu, bằng 0 nếu a = 0

Theo đề bài ta có x = a/m, y = b/m (a, b, m ∈ Z, b # 0)
Vì x < y nên ta suy ra a < b
Ta có: x = 2a/2m, y = 2b/2m; z = (a+b)/2m
Vì a < b => a + a < a + b => 2a < a + b
Do 2a < a + b nên x < z (1)
Vì a < b => a + b < b + b => a + b < 2b
Do a + b < 2b nên z < y (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra x < z < y