a/ Áp dụng BĐT ba điểm : 

\(AM+MB\ge AB\) ; \(BM+MC\ge BC\); \(CM+MD\ge CD\) ; \(DM+MA\ge DA\)

Cộng theo vế : \(2\left(MA+MB+MC+MD\right)\ge AB+BC+CD+DA\)

\(\Leftrightarrow MA+MB+MC+MD\ge\frac{AB+BC+CD+DA}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của AC và BD

b/ Ta cũng áp dụng BĐT ba điểm :

\(AM+MC\ge AC\) ; \(BM+MD\ge BD\)

Cộng theo vế : \(MA+MB+MC+MD\ge AC+BD\)

Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của AC và BD

a) Xét (O;R) có:

\(\widehat{BCD}\)là góc nt chắn cung BC

\(\widehat{BAC}\)là góc nt chắn cung BC

\(\Rightarrow\widehat{BCD}=\widehat{BAC}=sđ\widebat{BC}\)

Vì dây \(AB\perp CD\)tại M nên \(\widehat{M}=90^o\)

Xét \(\Delta ACM\)và \(\Delta DBM\):

\(\hept{\begin{cases}\widehat{AMC}=\widehat{DMB}=90^o\\\widehat{BAC}=\widehat{BCD}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\Delta ACM\infty\Delta DBM\left(gg\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AM}{DM}=\frac{MC}{MB}\Rightarrow AM.MB=MC.DM\)

b) Vì \(\Delta ACM\infty DBM\Rightarrow\widehat{ACM}=\widehat{DBM}\)

Xét \(\left(O;R\right):\)

\(\Delta CDE\)nt (O), cạnh DE là đường kính\(\Rightarrow\Delta CDE\)vuông tại C\(\Rightarrow CD\perp CE\Rightarrow\widehat{DCE}=90^o\)

\(\Delta BDE\)nt \(\left(O\right),\)cạnh DE là đường kính\(\Rightarrow\Delta BDE\)vuông tại B\(\Rightarrow\widehat{DBE}=90^o\)

Có\(\widehat{MAC}+\widehat{ACM}=90^o\Rightarrow\widehat{MAC}=90^o-\widehat{ACM}\)

Và \(\widehat{ABE}+\widehat{DBM}=90^o\Rightarrow\widehat{ABE}=90^o-\widehat{DBM}\)

Mà \(\widehat{ACM}=\widehat{DBM}\)\(\Rightarrow\widehat{MAC}=\widehat{ABE}\)

Do \(AB\perp CD,CD\perp CE\Rightarrow AB//CE\)

Xét tg ABCE có:

\(AB//CE\)

\(\widehat{MAC}=\widehat{ABE}\)

\(\Rightarrow Tg\)ABCE là hthang cân

c) Áp dụng đ/lí Pi-ta-go lần lượt vào các \(\Delta AMC,\Delta BCM;\Delta BDM;\Delta ADM;\Delta BDE\)có:

\(AM^2=AC^2-CM^2\)(1)

\(MB^2=BC^2-CM^2\)(2)

\(MC^2=BC^2-BM^2\)(3)

\(MD^2=BD^2-BM^2\)(4)

\(DE^2=BD^2+BE^2\)(5)

Công từng vế của (1)(2)(3)(4) ta đc đẳng thức:

\(MA^2+MB^2+MC^2+MD^2=AC^2-CM^2+BC^2-CM^2+BC^2-BM^2+BD^2-BM^2\)

                                                              \(=AC^2+2BC^2-2CM^2-BM^2+BD^2-BM^2\)

                                                               \(=AC^2+2BM^2-BM^2+BD^2-BM^2\)(vì \(BM^2=BC^2-CM^2\))

                                                                \(=AC^2+BD^2\)

                                                                  \(=BE^2+BD^2\)(vì AC=BE do ABCE là hthang cân)

                                                                  \(=DE^2\)(c/m (5))

Mà DE là đường kính của (O) nên DE=2R\(\Rightarrow DE^2=\left(2R\right)^2=4R^2\)

Vậy \(MA^2+MB^2+MC^2+MD^2\)có g/trị ko đổi khi M thay đổi trong (O)

Chắc chắn là đề bài sai rồi

Vế trái là 1 đại lượng vô hướng

Vế phải là 1 đại lượng có hướng (vecto)

Hai vế không thể bằng nhau được

đây là hình vẽ , mình dựng hình phụ . mình có viết được một chút đó là :
Qua M kẻ AJ//IH ; AI//JK .
nối IJ ; IK; KH ;KJ 
ta có AB//CD =>IM//AJ => tứ giác AIMJ là hình thang cân
CÁC BẠN GIÚP MÌNH LÀM TIẾP VỚI Ạ!! 

giúp mình với :''<<