Bạn kia giải sai rồi!! xyz = yxz thì chắc gì x = y = z? Giải: Cộng các đẳng thức trên với nhau ta được: x 2 + y 2 + z 2 = xy + yz + zx ⇔2 x 2 + y 2 + z 2 = 2 xy + yz + zx ⇔ x 2 − 2xy + y 2 + y 2 − 2yz + z 2 + z 2 − 2xz + x 2 = 0 ⇔ x − y 2 + y − z 2 + z − x 2 = 0 Mà:  x − y 2 ≥ 0 y − z 2 ≥ 0 z − x 2 ≥ 0 ⇒ x − y 2 + y − z 2 + z − x 2 ≥ 0 Do đó dấu "=" xảy ra khi ⇔x = y = z 

Ta có: \(x^2=yz=>x.x=y.z=\frac{x}{y}=\frac{z}{x}\left(1\right)\)

\(y^2=xz=>y.y=x.z=\frac{x}{y}=\frac{y}{z}\left(2\right)\)

\(z^2=xy=>z.z=x.y=\frac{z}{x}=\frac{y}{z}\left(3\right)\)

\(Từ\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\)ta được: \(\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{x}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{x}=\frac{x+y+z}{x+y+z}=1\)

Với \(\frac{x}{y}=1=>x=y\left(4\right)\)

Với \(\frac{y}{z}=1=>y=z\left(5\right)\)

Từ (4) và (5) suy ra: x = y = z

=> Đpcm

x+y+z chưa khác o mà bạn

Ta có:

\(VT=\dfrac{x^2}{x^3-xyz-2013x}+\dfrac{y^2}{y^3-xyz-2013y}+\dfrac{z^2}{z^3-xyz-2013z}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x^3+y^3+z^3-3xyz-2013.\left(z+y+z\right)}\)

\(VT=\dfrac{\left(x+y+x\right)^2}{x^3+y^3+z^3+3\left[\left(x+y+z\right).\left(xy+yz+xz\right)-xyz\right]}\)

\(VT=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^3}\)

\(VT=\dfrac{1}{x+y+z}=VP\)

\(\Rightarrow\) Đpcm.

\(x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx\\ \Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx=0\\ \Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=0\\y-z=0\\z-x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z\\ \text{Mà }x+y+z=-3\Leftrightarrow x=y=z=-1\\ \Leftrightarrow B=1-1+1=1\)

\(x+y+z=xyz\Rightarrow\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}=1\)

\(VT\le\dfrac{x}{2\sqrt{x^2yz}}+\dfrac{y}{2\sqrt{y^2zx}}+\dfrac{z}{2\sqrt{z^2xy}}\)

\(VT\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{zx}}\right)\le\dfrac{1}{2}\sqrt{3\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}\right)}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{3}\)

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM:

\(P\ge3\sqrt[3]{\dfrac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}{xyz}}\).

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:

\(xy+1=xy+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{xy}{4^4}}\).

Tương tự: \(yz+1\ge5\sqrt[5]{\dfrac{yz}{4^4}};zx+1\ge5\sqrt[5]{\dfrac{zx}{4^4}}\).

Do đó \(\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)\ge125\sqrt[5]{\dfrac{\left(xyz\right)^2}{4^{12}}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}{xyz}\ge125\sqrt[5]{\dfrac{1}{4^{12}\left(xyz\right)^3}}\).

Mà \(xyz\le\dfrac{\left(x+y+z\right)^3}{27}=\dfrac{1}{8}\)

Nên \(\dfrac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}{xyz}\ge125\sqrt[5]{\dfrac{8^3}{4^{12}}}=125\sqrt[5]{\dfrac{1}{2^{15}}}=\dfrac{125}{8}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{15}{2}\).

Vậy...

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM:

P≥33√(xy+1)(yz+1)(zx+1)xyz.

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:

xy+1=xy+14+14+14+14≥55√xy44.

Tương tự: yz+1≥55√yz44;zx+1≥55√zx44.

Do đó (xy+1)(yz+1)(zx+1)≥1255√(xyz)2412

⇒(xy+1)(yz+1)(zx+1)xyz≥1255√1412(xyz)3.

Mà xyz≤(x+y+z)327=18

Nên  (xy+1)(yz+1)(zx+1)xyz≥1255√83412=1255√1215=1258 

⇒P≥152.