(A=dfrac{x}{x+y+z}+dfrac{y}{y+z+t}+dfrac{z}{z+t+x}+dfrac{t}{t+x+y})

Giả sử: (Ain N) thì

(left{{}egin{matrix}dfrac{x}{x+y+z}in N\dfrac{y}{y+z+t}in N\dfrac{z}{z+t+x}in N\dfrac{t}{x+y+t}in Nend{matrix} ight.) (Leftrightarrowleft{{}egin{matrix}x⋮x+y+z\y⋮y+z+t\z⋮z+t+x\t⋮t+x+yend{matrix} ight.)

Vì (x;y;z;tin Ncircledast) nên

(left{{}egin{matrix}xge x+y+z\yge y+z+t\zge z+t+x\tge t+x+yend{matrix} ight.Leftrightarrowleft{{}egin{matrix}x+yle0\z+tle0\t+xle0\x+yle0end{matrix} ight.)

Điều trên ko thể xảy ra, (A otin N)

M=\(\dfrac{x}{x+y+z}\)+\(\dfrac{y}{x+y+t}\)+\(\dfrac{t}{y+z+t}\)+\(\dfrac{t}{x+z+t}\)

=\(\dfrac{x+y+z+t}{x+y+z+x+y+t+y+z+t+x+z+t}\)

=\(\dfrac{x+y+z+t}{3x+3y+3z+3t}\)

=\(\dfrac{x+y+z+t}{3.\left(x+y+z+t\right)}\)=\(\dfrac{1}{3}\)

⇒M Có già trị không phai số tự nhiên

Phân số cuối cùng chắc em ghi nhầm

\(\dfrac{x}{y+z+t}+\dfrac{y+z+t}{9x}\ge2\sqrt{\dfrac{x\left(y+z+t\right)}{9x\left(y+z+t\right)}}=\dfrac{2}{3}\)

Tương tự:

\(\dfrac{y}{z+t+x}+\dfrac{z+t+x}{9y}\ge\dfrac{2}{3}\)

\(\dfrac{z}{t+x+y}+\dfrac{t+x+y}{9z}\ge\dfrac{2}{3}\)

\(\dfrac{t}{x+y+z}+\dfrac{x+y+z}{9t}\ge\dfrac{2}{3}\)

Đồng thời:

\(\dfrac{8}{9}\left(\dfrac{y+z+t}{x}+\dfrac{z+t+x}{y}+\dfrac{t+x+y}{z}+\dfrac{x+y+z}{t}\right)\)

\(\ge\dfrac{8}{9}\left(\dfrac{3\sqrt[3]{yzt}}{x}+\dfrac{3\sqrt[3]{ztx}}{y}+\dfrac{3\sqrt[3]{txy}}{z}+\dfrac{3\sqrt[3]{xyz}}{t}\right)\)

\(\ge\dfrac{8}{3}.4\sqrt[4]{\dfrac{\sqrt[3]{yzt}.\sqrt[3]{ztx}.\sqrt[3]{txy}.\sqrt[3]{xyz}}{xyzt}}=\dfrac{32}{3}\)

Cộng vế:

\(VT\ge4.\dfrac{2}{3}+\dfrac{32}{3}=\dfrac{40}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=t\)

Sai đề chỗ p/s cuối. Xét 2 t/h.

Oáp Z_z có gì mai ns nhé!

mk ko làm cụ thể nhưng chỉ nêu hướng lm thôi nhé

bn áp dụng tích chất dãy tỉ số bằng nhau vào giả thiết, ra 1/3

sau đó suy ra x = (y+z+t)/3, y,z,t cũng làm tương tự

sau đó bạn quy đồng các mẫu của P

sau khi phân tích bn sẽ lấy kq vừa tính đc phần trên

mk nghĩ kết quả ra là 15 nhưng có thể sai

chúc bn may mắn

ĐK: y+z+t,z+t+x,t+x+y,x+y+z khác 0

x+y+z+t khác 0

\(\dfrac{x}{y+z+t}=\dfrac{y}{z+t+x}=\dfrac{z}{t+x+y}=\dfrac{t}{x+y+z}=\dfrac{x+y+z+t}{3\left(x+y+z+t\right)}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow3x=y+z+t;3z=t+x+y;3y=z+t+x;3t=x+y+z\Leftrightarrow x=y=z=t\)

từ đây suy ra P=4

Ta có :

\(\dfrac{x}{y+z+t}=\dfrac{y}{z+t+x}=\dfrac{z}{t+x+y}=\dfrac{t}{x+y+z}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{y+z+t}+1=\dfrac{y}{z+t+x}+1=\dfrac{z}{t+x+y}+1=\dfrac{t}{x+y+z}+1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x+y+z+t}{y+z+t}=\dfrac{x+y+z+t}{z+t+x}=\dfrac{x+y+z+t}{t+x+y}=\dfrac{x+y+z+t}{x+y+z}\)

+) Nếu \(x+y+z+t\ne0\)

\(\Leftrightarrow y+z+t=z+t+x=t+x+y=x+y+z\)

\(\Leftrightarrow x=y=z=t\ne0\)

Mà \(P=\dfrac{x+y}{z+t}+\dfrac{y+z}{t+x}+\dfrac{z+t}{x+y}=\dfrac{t+x}{y+z}\)

\(\Leftrightarrow P=\dfrac{x+x}{x+x}+\dfrac{x+x}{x+x}+\dfrac{x+x}{x+x}+\dfrac{x+x}{x+x}\)

\(\Leftrightarrow P=\dfrac{2x}{2x}+\dfrac{2x}{2x}+\dfrac{2x}{2x}+\dfrac{2x}{2x}\)

\(\Leftrightarrow P=4\)

+) Nếu \(x+y+z+t=0\)

\(\Leftrightarrow x+y=-\left(z+t\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x+y}{z+t}=\dfrac{-\left(z+t\right)}{z+t}=-1\)

Tương tự ta có :

\(\dfrac{y+z}{t+x}=\dfrac{z+t}{x+y}=\dfrac{t+x}{y+z}=-1\)

\(\Leftrightarrow P=-4\)

Vậy ..

Ta có: \(\dfrac{x}{y+z+t}=\dfrac{y}{z+t+x}=\dfrac{z}{y+t+x}=\dfrac{t}{y+x+z}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{y+z+t}+1=\dfrac{y}{z+t+x}+1=\dfrac{z}{y+t+x}+1=\dfrac{t}{y+x+z}+1\)

\(\Rightarrow\dfrac{x+y+z+t}{y+z+t}=\dfrac{x+y+z+t}{z+t+x}=\dfrac{x+y+z+t}{y+t+x}=\dfrac{x+y+z+t}{y+x+z}\)+) Xét \(x+y+z+t=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-\left(z+t\right)\\y+z=-\left(x+t\right)\\z+t=-\left(x+y\right)\\x+t=-\left(y+z\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow A=-1\)

+) Xét \(x+y+z+t\ne0\Rightarrow x=y=z=t\)

\(\Rightarrow A=1\)

Vậy A = -1 hoặc A = 1

Ta có:\(\dfrac{x}{y+z+t}+1=\dfrac{y}{z+t+x}+1=\dfrac{z}{y+t+x}+1=\dfrac{t}{y+x+z}+1\)\(\Rightarrow\dfrac{x+y+z+t}{y+z+t}=\dfrac{x+y+z+t}{z+t+x}=\dfrac{x+y+z+t}{t+x+y}=\dfrac{x+y+z+t}{x+y+z}\)

Nếu x+y+z+t\(\ne\)0 thì y+z+t=z+t+x=t+x+y=x+y+z

=>x=y=z=t nên P=1+1+1+1=4

Nếu X+y+z+t=0 thì P=-4

\(\dfrac{x}{y+z+t}=\dfrac{y}{x+t+z}=\dfrac{z}{t+y+x}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{y+z+t}+1=\dfrac{y}{x+t+z}+1=\dfrac{z}{t+y+x}+1\)

\(\Rightarrow\dfrac{x+y+z+t}{y+z+t}=\dfrac{x+y+z+t}{x+t+z}=\dfrac{x+y+z+t}{t+y+x}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y=z=t\\x+y+z+t=0\end{matrix}\right.\)

\(\circledast\) Khi \(x=y=z=t\) thì

\(P=\dfrac{x+y}{z+t}+\dfrac{y+z}{x+t}+\dfrac{z+t}{x+y}+\dfrac{t+x}{y+z}=1+1+1+1=4\)

\(\circledast\) Khi \(x+y+z+t=0\) thì:\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=-\left(z+t\right)\\y+z=-\left(x+t\right)\\z+t=-\left(x+y\right)\\t+x=-\left(y+z\right)\end{matrix}\right.\)

\(P=\dfrac{x+y}{z+t}+\dfrac{y+z}{x+t}+\dfrac{z+t}{x+y}+\dfrac{t+x}{y+z}=\left(-1\right)+\left(-1\right)+\left(-1\right)+\left(-1\right)=-4\)

Đặt:

\(linh=\dfrac{x}{x+y+z}+\dfrac{y}{y+z+t}+\dfrac{z}{z+t+x}+\dfrac{t}{t+x+y}\)

Giả sử: \(linh\in N\)

Điều này chứng tỏ:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{x+y+z}\in N\\\dfrac{y}{y+z+t}\in N\\\dfrac{z}{z+t+x}\in N\\\dfrac{t}{t+x+y}\in N\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x⋮x+y+z\\y⋮y+z+t\\z⋮z+t+x\\t⋮t+x+y\end{matrix}\right.\)

Vì \(x;y;z;t\in N\circledast\) nên điều trên tương đương với:

\(\left\{{}\begin{matrix}x\ge x+y+z\\y\ge y+z+t\\z\ge z+t+x\\t\ge t+x+y\end{matrix}\right.\)(Không thể đồng thời xảy ra)
Nên: Điều giả sử sai,\(linh\notin N\left(đpcm\right)\)