non vãi loonf đến câu này còn đéo bt ko bt đi học để làm gì

đúng trẻ trâu

Vì a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên a,b,c > 0

Áp dụng bđt Cauchy : \(b^2+1\ge2\sqrt{b^2}=2\left|b\right|=2b\)\(\Rightarrow a\left(1+b^2\right)\ge2ab\)

Tương tự : \(b\left(1+c^2\right)\ge2bc\) , \(c\left(1+a^2\right)\ge2ac\)

Cộng các bđt trên ta được đpcm

Mk còn thiếu vế trái nữa

 a² + b² + c² \(\le\)2 ( ab + bc + ca ) 

Vì a ; b ; c là 3 cạnh của 1 tam giác nên theo bất đẳng  thức  tam giác:

Ta có: 

a\(\le\)b +c => a . a \(\le\)a.(b + c) => a² \(\le\) ab + ac    ( 1 ) 

b \(\le\) a + c => b . b \(\le\)b ( a + c ) => b² \(\le\)ab + bc   ( 2) 

c \(\le\) a + b => c . c \(\le\) c . ( a + b ) => c² \(\le\) ac  + bc   ( 3 ) 

Cộng với các vế ( 1 ) ; ( 2 ) ; ( 3 ) được: 

a²+ b² + c² \(\le\) ab + ac + ab + bc + ac + bc 

Vậy a²  + b² + c² \(\le\)2.( ab + bc + ca ) 

a² + b² + c²  \(\ge\)    ab + bc + ca 

 <=> a² + b² + c² - ab - bc  - ca \(\ge\) 0 

<=> 2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2bc - 2ca \(\ge\)0 

<=> ( a² - 2ab + b² ) + ( b² - 2bc + c² ) + ( c² - 2ca + a² ) \(\ge\)0 

<=> ( a - b )² + ( b - c)² + ( c - a)² \(\ge\) 0 ( Luôn đúng)

Dấu "  = " xảy ra khi a = b = c 

mới lớp 7 a ới

Dấu "=" ko xảy ra ??? xem lại đề 

Theo bđt tam giác ta có : 

\(a< b+c\)\(\Leftrightarrow\)\(a^2< ab+ac\)

\(b< c+a\)\(\Leftrightarrow\)\(b^2< bc+ab\)

\(c< a+b\)\(\Leftrightarrow\)\(c^2< ac+bc\)

Cộng theo vế từng bđt trên ta có : 

\(a^2+b^2+c^2< ab+ac+bc+ab+ac+bc=2\left(ab+bc+ca\right)\) ( đpcm ) 

Chúc bạn học tốt ~ 

Ta có :

\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)       (1)

Vì \(a,b,c\)là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên ta có :

\(a^2< a.\left(b+c\right)\)

\(\Rightarrow a^2< ab+ac\)

Tương tự :

\(b^2< ab+bc\)

\(c^2< ca+bc\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\)              (2)

Từ (1) và (2)

=> Đpcm

a)Ta có BĐT tam giác :

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b>c\\a+c>b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b-c>0\\a+c-b>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[a+\left(b+c\right)\right]\left[a-\left(b-c\right)\right]>0\)

\(\Rightarrow a^2-\left(b-c\right)^2>0\Rightarrow a^2>\left(b-c\right)^2\)

b)Áp dụng BĐT ở câu a ta có:

\(a^2+b^2+c^2>\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(a-b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2>b^2+c^2-2bc+a^2+c^2-2ac+a^2+b^2-2ab\)

\(\Leftrightarrow2ab+2bc+2ca>2a^2+2b^2+2c^2\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ca>a^2+b^2+c^2\)