Cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện: 2c+b=abc
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
\(P=\dfrac{3}{b+c-a}+\dfrac{4}{a+c-b}+\dfrac{5}{a+b-c}\)
Cho a, b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\dfrac{a}{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{2b^2+2a^2-c^2}}\).
Ta có:
\(\left(2a^2-b^2-c^2\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow4a^4+b^4+c^4-4a^2b^2-4a^2c^2+2b^2c^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\ge6a^2b^2+6a^2c^2-3a^4\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge3a^2\left(2b^2+2c^2-a^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}\ge\dfrac{\sqrt{3}a}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}\ge\sqrt{3}\dfrac{a^2}{a^2+b^2+c^2}\)
Tương tự: \(\dfrac{b}{\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}}\ge\sqrt{3}.\dfrac{b^2}{a^2+b^2+c^2}\) ; \(\dfrac{c}{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}\ge\sqrt{3}.\dfrac{c^2}{a^2+b^2+c^2}\)
Cộng vế: \(P\ge\dfrac{\sqrt{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{3}\)
\(P_{min}=\sqrt{3}\) khi \(a=b=c\)
cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\dfrac{a^3}{2b+3c}+\dfrac{b^3}{2c+3a}+\dfrac{c^3}{2a+3b}\)
Áp dụng bđt Schwarz ta có:
\(P=\dfrac{a^4}{2ab+3ac}+\dfrac{b^4}{2cb+3ab}+\dfrac{c^4}{2ac+3bc}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{5\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{5\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\dfrac{1}{5}\).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\).
cho các số dương a,b,c thỏa mãn \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=4\)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M= \(\dfrac{1}{2a+b+c}+\dfrac{1}{a+2b+c}+\dfrac{1}{a+b+2c}\)
Áp dụng bất đẳng thức: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\) \(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(đúng\right)\)
\(\dfrac{1}{2a+b+c}=\dfrac{1}{4}.\dfrac{4}{2a+b+c}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{b+c}\right)\le\dfrac{1}{4}\left[\dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\right]=\dfrac{1}{8}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{2c}\right)\)
CMTT \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{a+2b+c}\le\dfrac{1}{8}\left(\dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{2c}\right)\\\dfrac{1}{a+b+2c}\le\dfrac{1}{8}\left(\dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{c}\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow M=\dfrac{1}{2a+b+c}+\dfrac{1}{a+2b+c}+\dfrac{1}{a+b+2c}\le\dfrac{1}{8}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{2}{2a}+\dfrac{2}{2b}+\dfrac{2}{2c}\right)=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=\dfrac{1}{4}.4=1\)
\(minM=1\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{3}{4}\)
Đề 1:
Câu 3.
b) Cho a, b , c là độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn abc = b + 2c
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\frac{3}{b+c-a}+\frac{4}{c+a-b}+\frac{5}{a+b-c}\)
Từ giả thiết : \(abc=b+2c\)
\(\Leftrightarrow\frac{b+2c}{bc}=a\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{c}+\frac{2}{b}=a\)(1)
Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
Ta có : \(P=\frac{3}{b+c-a}+\frac{4}{c+a-b}+\frac{5}{a+b-c}\)
\(=\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}+2\left(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+b-c}\right)+3\left(\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\right)\)
\(\ge\frac{4}{2c}+2\cdot\frac{4}{2b}+3\cdot\frac{4}{2a}=\frac{2}{c}+\frac{4}{b}+\frac{6}{a}\)
Áp dụng (1) vào \(P\): \(\frac{2}{c}+\frac{4}{b}+\frac{6}{c}=2\left(\frac{1}{c}+\frac{2}{b}+\frac{3}{a}\right)=2\left(a+\frac{3}{a}\right)\ge4\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}\)
Vậy \(Min_P=4\sqrt{3}\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}\)
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y},x>0,y>0\)
\(P=\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}+2\left(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+b-c}\right)+3\left(\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{a+b-c}\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2}{c}+\frac{4}{b}+\frac{6}{a}\)
Từ giả thiết ta có: \(\frac{1}{c}+\frac{2}{b}=a\) nên \(\frac{2}{c}+\frac{4}{b}+\frac{6}{a}=2\left(\frac{1}{c}+\frac{2}{b}+\frac{3}{a}\right)=2\left(a+\frac{3}{a}\right)\ge4\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của P=\(4\sqrt{3}\) đạt được khi \(a=b=c=\sqrt{3}\)
cô lấy đề thầy cẩn full luôn ạ cô
Ch a, b, c là 3 số dương thỏa mãn: a+b+c=6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(A=\dfrac{ab}{a+3b+2c}+\dfrac{bc}{b+3c+2a}+\dfrac{ca}{c+3a+2b}\)
Áp dụng bđt \(\dfrac{9}{a+b+c}\le\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
Khi đó \(\dfrac{9.ab}{a+3b+2c}=ab.\dfrac{9}{\left(a+c\right)+\left(c+b\right)+2b}\le\dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{ab}{c+b}+\dfrac{a}{2}\)
Tương tự và cộng theo vế suy ra \(9A\le\dfrac{3\left(a+b+c\right)}{2}=9< =>A\le1\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 2
Cho 3 số a,b,c đôi một khác 0, tính giá trị của biểu thức:
\(A=\left(1+\dfrac{a}{b}\right).\left(1+\dfrac{b}{c}\right).\left(1+\dfrac{c}{a}\right)\)
thỏa mãn điều kiện: \(\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{b+c}{a}=\dfrac{c+a}{b}\)
Ta có: \(\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{b+c}{a}=\dfrac{c+a}{b}\)\(=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
=> a+b=2c; b+c=2a; c+a=2b
Thay vào A ta được: A=((a+b)/b)((c+b)/c)((a+c)/a)
=2c/b.2a/c.2b/a=2.2.2=8
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\dfrac{1}{a\left(b^2+bc+c^2\right)}+\dfrac{1}{b\left(c^2+ca+a^2\right)}+\dfrac{1}{c\left(a^2+ab+b^2\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}\)
\(abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\)
\(\Leftrightarrow abc\ge\left(3-2a\right)\left(3-2b\right)\left(3-2c\right)\)
\(\Leftrightarrow9abc\ge12\left(ab+bc+ca\right)-27\)
\(\Rightarrow abc\ge\dfrac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)-3\)
\(P\ge\dfrac{9}{a\left(b^2+bc+c^2\right)+b\left(c^2+ca+a^2\right)+c\left(a^2+ab+b^2\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}=\dfrac{9}{\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3}{ab+bc+ca}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}=\dfrac{3+abc}{ab+bc+ca}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3+\dfrac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)-3}{ab+bc+ca}=\dfrac{4}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
o a,b,c là độ dài các cạnh trong tam giác thỏa mãn abc=2c+b
CMR \(\dfrac{3}{b+c-a}+\dfrac{4}{c+a-b}+\dfrac{5}{a+b-c}\ge4\sqrt{3}\)
Với a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác thỏa mãn 2c+b=abc. Chứng minh rằng :
\(\dfrac{3}{b+c-a}+\dfrac{4}{c+a-b}+\dfrac{5}{a+b-c}\ge4\sqrt{3}\)