biểu thức trên nguyên khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x^2+7}=m\\\sqrt{x^3+9}=n\end{cases}\text{ với m,n là các số tự nhiên}}\)

hay ta có : \(\hept{\begin{cases}m^2-x^2=7\\n^2-x^3=9\end{cases}}\Rightarrow\left(m-x\right)\left(m+x\right)=7\Rightarrow\hept{\begin{cases}m+x=7\\m-x=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m=4\\x=3\end{cases}}\)

thay x=3 thỏa mãn đề bài vậy x=3 là giá trị nguyên của x t/m

mình quên mất một ý nhỏ 

còn trường hợp khác là :\(\hept{\begin{cases}m+x=1\\m-x=7\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}m=4\\x=-3\end{cases}}}\) trường hợp này loại do điều kiện tồn tại của căn

dạ em cảm ơn nhiều lắm lắm huhu

Đặt \(y=\sqrt{x^2+7}+\sqrt{x^3+9}\)

\(\Leftrightarrow y-\sqrt{x^2+7}=\sqrt{x^3+9}\)

\(\Leftrightarrow\left(y-\sqrt{x^2+7}\right)^2=x^3+9\)

\(\Leftrightarrow y^2-2y\sqrt{x^2+7}+x^2+7=x^3+9\)

\(\Leftrightarrow y^2+x^2-x^3-2=2y\sqrt{x^2+7}\)

Ta thấy VT là số nguyên nên VP cũng phải là số nguyên

\(\Rightarrow x^2+7\)phải là số chính phương

Đặt \(x^2+7=z^2\)với z là số nguyên dương và z > x

\(\Leftrightarrow\left(z+x\right)\left(z-x\right)=7\)

Tới đây làm nốt nha

\(\sqrt{3}-\dfrac{m}{n}>0\Leftrightarrow\sqrt{3}>\dfrac{m}{n}\Leftrightarrow3n^2>m^2\)

Vì \(m,n\ge1\) nên \(3n^2\ge m^2+1\)

Với \(3n^2=m^2+1\Leftrightarrow m^2+1⋮3\Leftrightarrow m^2\) chia 3 dư 2 (vô lí)

\(\Leftrightarrow3n^2\ge m^2+2\)

Lại có \(4m^2>1\Leftrightarrow\left(m+\dfrac{1}{2m}\right)^2=m^2+1+\dfrac{1}{4m^2}< m^2+2\)

\(\Leftrightarrow\left(m+\dfrac{1}{2m}\right)^2< 3n^2\Leftrightarrow m+\dfrac{1}{2m}< n\sqrt{3}\\ \Leftrightarrow n\sqrt{3}-m>\dfrac{1}{2m}\)

đặt 2n + 34 = a^2

34 = a^2-n^2

34=(a-n)(a+n)

a-n thuộc ước của 34 là { 1; 2; 17; 34} và a-n . Ta có bảng sau ( mik ko bt vẽ)

=>     a-n        1        2 

         a+n        34      17

        Mà tổng và hiệu 2 số nguyên cùng tính chẵn lẻ

      Vậy ....

Ta cóS = 14 +24 +34 +···+1004 không là số chính phương.

=>  S= (1004+14).100:2=50 900 ko là SCP

2: A=n^2+3n+2=(n+1)(n+2)

Để A là số nguyên tố thì n+1=1 hoặc n+2=2

=>n=0