a;b;c ;à độ dài 3 cạnh của tam giác \(\Rightarrow a;b;c>0\)

Ta có:

\(a^3+b^3+c^3=3abc\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\) (do \(a+b+c>0\))

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Hay tam giác ABC đều

thực hiện trừ 2 vế ta (vế trái cho vế phải) ta được 

(a+b+c).(a²+b²+c²-ab-bc-ca)=0

nên hoặc a+b+c=0 hoặc nhân tử còn lại bằng 0

mà a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác nên a+b+c>0

vậy a²+b²+c²-ab-bc-bc-ca=0

đặt đa thức đó bằng A

A=0 nên 2xA=0

phân tích thành hằng đẳng thức ta có (a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0

nên a=b=c vậy là tam giác đều

mình nghĩ là tam giác đều

\(a^3+b^3+c^3-3abc\)\(=0\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3-3a^2b-3ab^2+c^3-3abc=0\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3a^2b-3ab^2-3abc=0\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right).\left[\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right).\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right).\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)

Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên a,b,c đều lớn hơn 0

\(\Rightarrow a+b+c\ne0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\)

\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)

\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0\)

\(\Rightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)                          \(\left(1\right)\)

Vì \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\\\left(b-c\right)^2\ge0\\\left(c-a\right)^2\ge0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(với mọi a,b,c)

Để được (1) thì:

\(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=0\\\left(c-a\right)^2=0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow a=b=c\)( tam giác đều) \(\left(\text{Đ}PCM\right)\)

Do a;b;c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên \(a;b;c>0\)

\(a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2+2ab-ac-bc\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a=b=c\)

Hay tam giác ABC đều

thực hiện trừ 2 vế ta (vế trái cho vế phải) ta được

(a+b+c).(a^2+b^2+c^2 -ab-bc-ca)=0

nên hoặc a+b+c=0 hoặc nhân tử còn lại bằng 0

mà a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác nên a+b+c>0

vậy a^2+b^2+c^2 -ab-bc-bc-ca=0

đặt đa thức đó bằng A

A=0 nên 2xA=0

phân tích thành hằng đẳng thức ta có (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0

nên a=b=c vậy là tam giác đều 

Lời giải:

$a^3+b^3+c^3=3abc$

$\Leftrightarrow (a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc=0$

$\Leftrightarrow (a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c)=0$

$\Leftrightarrow (a+b+c)[(a+b)^2-c(a+b)+c^2]-3ab(a+b+c)=0$

$\Leftrightarrow (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0$

Hiển nhiên $a+b+c>0$ với mọi $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác.

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0$

$\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0$

$\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$

Do mỗi số $(a-b)^2; (b-c)^2; (c-a)^2\geq 0$ với mọi $a,b,c>0$.

$\Rightarrow$ để tổng của chúng bằng $0$ thì:

$(a-b)^2=(b-c)^2=(c-a)^2=0$

$\Rightarrow a=b=c$

$\Rightarrow ABC$ là tam giác đều.

C/m \(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)

+) Từ giải thiết suy ra : \(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)

\(\Rightarrow\)\(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)( Vì a + b + c > 0 )

+) Biến đổi được kết quả : \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}}\)\(\Rightarrow\)Tam giác đó là tam giác đề ( đpcm 0

Vậy tam giác đó là tam giác đều

            \(a^3+b^3+c^3=3abc\)

\(\Leftrightarrow\)\(a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b\right)^3+c^3-3a^2b-3ab^2-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)

Vì  \(a,b,c\)là độ dài 3 cạnh của tam giác nên  \(a+b+c=0\)

\(\Rightarrow\)\(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\)

\(\Rightarrow\)\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2-\left(c-a\right)^2=0\)              (mk lm tắt nhé)

\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}}\)\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}}\)\(\Rightarrow\)\(a=b=c\)

Vậy  tam giác đó là tam giác đều

mk nhầm chút nhé

Vì   a,b,c  là độ dài các cạnh của tam giác nên  \(a+b+c\ne0\)

dễ mà bạn . áp dụng bất đẳng thức cô-si cho ba số không âm ta có:

a^3+b^3+c^3>=3\(\sqrt[3]{a^3b^3c^3}\)=>a^3+b^3+c^3>=3abc.

dấu bằng xảy ra khi a=b=c. vậy nếu a^3+b^3+c^3=3abc thì a=b=c hay tam giac ABC là tam giác đều!!!!!!

bất đẳng thức cô-si là một trong những BĐT cơ bản rất hay sử dụng khi thi HSG toán 8\(\frac{a+b}{2}>=\sqrt{ab}\)

Chứng minh (\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2>=0\)=>\(a+b>=2\sqrt{ab}\)=>\(\frac{a+b}{2}>=\sqrt{ab}\)vậy nhé !!!!

         \(a^3+b^3+3abc>c^3\)

\(\Leftrightarrow\)\(a^3+b^3-c^3+3abc>0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b\right)^3-c^3-3ab\left(a+b\right)+3abc>0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b-c\right)\left(a^2+2ab+b^2+ac+bc\right)-3ab\left(a+b-c\right)>0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b-c\right)\left(a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc\right)>0\)

\(a,\)\(b,\)\(c\)  là 3 cạnh tam giác   

\(\Rightarrow\)\(a+b-c>0\)(BĐT tam giác)

         \(a^2+b^2+c^2+Ab+ac+bc>0\)  do  a,b,c  >0

suy ra:  \(\left(a+b-c\right)\left(a^2+b^2+c^2+ab+ac\right)>0\)

\(\Rightarrow\)\(a^3+b^3-c^3+3abc>0\)

\(\Rightarrow\)\(a^3+b^3+3abc>c^3\)

P/S: phần BĐT mk trình bày kém, mong các bn giúp đỡ

Trong một tam giác thì: a + b > c

=>    (a + b)³ > c³

<=>  a³ + b³ + 3ab(a + b) > c³

mà a + b > c => 3ab(a + b) > 3abc

=> a³ + b³ + 3ab(a + b) > a³ + b³ + 3abc > c³

\(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c}\)

Vậy tam giác đó là tam giác đều 

\(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ac\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2=0\left(1\right)\)

vi   \(\left(a-b\right)^2\ge0\)

 \(\left(a-c\right)^2\ge0\)

\(\left(b-c\right)^2\ge0\)

de \(\left(1\right)\) xay ra thi \(\hept{\begin{cases}a-b=0\\a-c=0\\b-c=0\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c}\)

         \(\Leftrightarrow\)do la tam giac deu

Dài quá, dùng phương pháp hệ số giả định (hình như gọi thế này) là ra ngay: