Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài

Những câu hỏi liên quan
Thắng Trương
Xem chi tiết
Nguyễn Lê Phước Thịnh
9 tháng 5 2023 lúc 20:19

a^2/b+b^2/a>=a+b

=>a^3+b^3>=ab(a+b)

=>a^3+b^3-a^2b-ab^2>=0

=>a^2(a-b)+b^2(b-a)>=0

=>(a-b)^2(a+b)>=0(luôn đúng)

fds hh
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
8 tháng 6 2019 lúc 18:07

Ta chứng minh: \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)

Thực vậy, BĐT tương đương:

\(a^3+b^3-a^2b-ab^2\ge0\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)-b^2\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) (luôn đúng với a; b dương)

Vậy BĐT được chứng minh

Tương tự ta có: \(b^3+c^3\ge bc\left(b+c\right)\); \(c^3+a^3\ge ca\left(c+a\right)\)

Cộng vế với vế:

\(2\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a^3+b^3+c^3}{ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)}\ge\frac{a^3+b^3+c^3}{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}=\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Đinh Hoàng Nhất Quyên
Xem chi tiết
Shinichi Kudo
15 tháng 7 2023 lúc 19:36

Có:

\(x\sqrt{x}+y\sqrt{y}-x\sqrt{y}-y\sqrt{x}\ge0\)

\(x\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)-y\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\ge0\)

\(\left(x-y\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\ge0\)

\(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\ge0\)

\(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\ge0\)  (luôn đúng)

Dấu = xảy ra khi x=y

Trái Tim Hoá Đá
Xem chi tiết
Kurosaki Akatsu
Xem chi tiết
Nguyễn Thiều Công Thành
16 tháng 7 2017 lúc 21:09

\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ca}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{ab+bc+ca}=ab+bc+ca\)

Thiên An
6 tháng 7 2017 lúc 17:45

a, b, c dương

Ta có  \(\frac{a^3}{b}+ab\ge2\sqrt{\frac{a^3}{b}.ab}=2\sqrt{a^4}=2a^2\)   (1)

Tương tự  \(\frac{b^3}{c}+bc\ge2b^2\)  (2) và  \(\frac{c^3}{a}+ca\ge2c^2\)   (3)

Cộng (1), (2), (3) vế theo vế:  \(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\ge2\left(ab+bc+ca\right)-\left(ab+bc+ca\right)=ab+bc+ca\)

Đẳng thức xảy ra tại a=b=c

Vũ Đức Huy
Xem chi tiết
Almoez Ali
Xem chi tiết
Akai Haruma
30 tháng 5 2022 lúc 18:44

Đề sai với $a=b=c=0,0001$

Bình Trần Thị
Xem chi tiết
Chi Khánh
Xem chi tiết