chứng minh rằng: x-x2-1<0 với mọi số thực thuộc x
Những câu hỏi liên quan
Bài 1: Chứng minh rằng hai phân thức sau bằng nhau
a)x2+2x+1/x2+x=x+1/x
b)x-3/x=x2-4x+3/x2-x
a) Ta có: \(\dfrac{x^2+2x+1}{x^2+x}\)
\(=\dfrac{\left(x+1\right)^2}{x\left(x+1\right)}\)
\(=\dfrac{x+1}{x}\)
b) Ta có: \(\dfrac{x^2-4x+3}{x^2-x}\)
\(=\dfrac{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}{x\left(x-1\right)}\)
\(=\dfrac{x-3}{x}\)
Đúng 1
Bình luận (0)
cho x/z = z/y. chứng minh rằng (x2 + z2)/(y2 + z2) = x/ycho x/z = z/y. chứng minh rằng (x2 + z2)/(y2 + z2) = x/y
chứng minh rằng x2>2(x-1) với mọi số thực x
x2 > 2( x - 1 )
<=> x2 - 2x + 2 > 0
<=> ( x2 - 2x + 1 ) + 1 > 0
<=> ( x - 1 )2 + 1 > 0 ( luôn đúng ∀ x ∈ R )
Vậy bđt ban đầu được chứng minh
Đúng 1
Bình luận (0)
Chứng minh rằng x2 – x + 1 > 0 với mọi số thực x
Ta có:
\(x^2-x+1\)
\(=x^2-2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\)
\(=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\)
Mà: \(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\) và \(\dfrac{3}{4}>0\)
Nên: \(x^2-x+1>0\)
Đúng 2
Bình luận (0)
\(x^2-x+1\)
\(=x^2-\dfrac{1}{2}.x-\dfrac{1}{2}.x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\)
\(=x\left(x-\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{3}{4}\)
\(=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\left(x-\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{3}{4}\)
\(=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\) với mọi x ( đpcm )
Đúng 1
Bình luận (0)
\(x^2-x+1=x^2-2.x.\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\\ Mà:\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2>0\forall x\in R\\ Vậy:\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}\forall x\in R\\ Vậy:x^2-x+1>0\forall x\in R\)
Đúng 2
Bình luận (0)
Chứng minh rằng: x 2 + 2 y 2 + 2 x y + 1 > 0 ; ∀ x , y
4. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức a. A = 5 – 8x – x2 b. B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y 5. a. Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca chứng minh rằng a = b = c b. Tìm a, b, c biết a2 – 2a + b2 + 4b + 4c2 – 4c + 6 = 0 6. Chứng minh rằng: a. x2 + xy + y2 + 1 > 0 với mọi x, y b. x2 + 4y2 + z2 – 2x – 6z + 8y + 15 > 0 Với mọi x, y, z 7. Chứng minh rằng: x2 + 5y2 + 2x – 4xy – 10y + 14 > 0 với mọi x, y.
Cho x, y là hai số thực thỏa mãn
x
y
+
(
1
+
x
2
)
(
1
+
y
2
)
1.
Chứng minh rằng
x
1
+
y
2
+
y
1
+
x
2...
Đọc tiếp
Cho x, y là hai số thực thỏa mãn x y + ( 1 + x 2 ) ( 1 + y 2 ) = 1. Chứng minh rằng x 1 + y 2 + y 1 + x 2 = 0.
x y + ( 1 + x 2 ) ( 1 + y 2 ) = 1 ⇔ ( 1 + x ) 2 ( 1 + y ) 2 = 1 − x y ⇒ ( 1 + x 2 ) ( 1 + y 2 ) = 1 - x y 2 ⇔ 1 + x 2 + y 2 + x 2 y 2 = 1 − 2 x y + x 2 y 2 ⇔ x 2 + y 2 + 2 x y = 0 ⇔ x + y 2 = 0 ⇔ y = − x ⇒ x 1 + y 2 + y 1 + x 2 = x 1 + x 2 − x 1 + x 2 = 0
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh rằng không có số hữu tỉ nào thoả mãn: a) x2 = 7 b) x2 – 3x = 1 c) x + với x khác 1 và -1.
xét các số nguyên x1;x2;...;x5 thỏa mãn (1 + x1)(1 + x2)···(1 + x5) = (1−x1)(1−x2)···(1−x5) = x. chứng minh rằng xx1x2...x5=0
Đề bài:
Trong trường hợp này, trong tích \(P = \left(\right. 1 + x_{1} \left.\right) \left(\right. 1 + x_{2} \left.\right) \hdots\), sẽ có một thừa số bằng 0.
⇒ \(x = 0\).
Do đó \(x x_{1} x_{2} \hdots x_{5} = 0\).Nếu có một \(x_{i} = - 1\), tương tự, \(x = 0\).
⇒ Kết quả đúng.Nếu không có số nào bằng \(\pm 1\):
Khi đó (1) hoàn toàn xác định.
Lưu ý rằng \(\frac{1 + x_{i}}{1 - x_{i}}\) là một phân số không bằng 0.
Tích của 5 phân số bằng 1.
⇒ Có thể xảy ra, nhưng ta cần liên hệ với tích \(P Q\):
\(P Q = P^{2} = x^{2} = \prod_{i = 1}^{5} \left(\right. 1 - x_{i}^{2} \left.\right) .\)
Nếu không có số nào bằng \(\pm 1\), thì mỗi \(1 - x_{i}^{2} \neq 0\). Vế phải khác 0, suy ra \(x \neq 0\).
Nhưng khi đó \(x^{2} = \prod \left(\right. 1 - x_{i}^{2} \left.\right)\).
Nghĩa là \(x\) chia hết cho tích \(\prod x_{i}\) (do đồng dư mod \(x_{i}\), lập luận chia hết)…
Kết quả là hoặc \(x = 0\) hoặc một trong các \(x_{i} = 0\).
⇒ Trong cả hai trường hợp, \(x x_{1} x_{2} \hdots x_{5} = 0\).Kết luận:
Xét các số nguyên \(x_{1} , x_{2} , \ldots , x_{5}\) thỏa mãn
\(\left(\right. 1 + x_{1} \left.\right) \left(\right. 1 + x_{2} \left.\right) \hdots \left(\right. 1 + x_{5} \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. 1 - x_{1} \left.\right) \left(\right. 1 - x_{2} \left.\right) \hdots \left(\right. 1 - x_{5} \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } x .\)
Chứng minh rằng
\(x \cdot x_{1} x_{2} \hdots x_{5} = 0.\)
Lời giải:Gọi
\(P = \prod_{i = 1}^{5} \left(\right. 1 + x_{i} \left.\right) , Q = \prod_{i = 1}^{5} \left(\right. 1 - x_{i} \left.\right) .\)
Theo đề: \(P = Q = x\).
Bước 1: Xét tích \(P Q\)\(P Q = \prod_{i = 1}^{5} \left(\right. 1 + x_{i} \left.\right) \left(\right. 1 - x_{i} \left.\right) = \prod_{i = 1}^{5} \left(\right. 1 - x_{i}^{2} \left.\right) .\)
Bước 2: Sử dụng giả thiết \(P = Q\)Từ \(P = Q\), suy ra:
\(\prod_{i = 1}^{5} \left(\right. 1 + x_{i} \left.\right) = \prod_{i = 1}^{5} \left(\right. 1 - x_{i} \left.\right) .\)
Chuyển vế:
\(& \prod_{i = 1}^{5} \frac{1 + x_{i}}{1 - x_{i}} = 1. & & (\text{1})\)
Bước 3: Phân tích trường hợpNếu có một \(x_{i} = 1\), thì vế phải (1) có mẫu số bằng 0 → đẳng thức chỉ đúng khi đồng thời tử số cũng bằng 0, tức là có một \(x_{j} = - 1\).Trong trường hợp này, trong tích \(P = \left(\right. 1 + x_{1} \left.\right) \left(\right. 1 + x_{2} \left.\right) \hdots\), sẽ có một thừa số bằng 0.
⇒ \(x = 0\).
Do đó \(x x_{1} x_{2} \hdots x_{5} = 0\).Nếu có một \(x_{i} = - 1\), tương tự, \(x = 0\).
⇒ Kết quả đúng.Nếu không có số nào bằng \(\pm 1\):
Khi đó (1) hoàn toàn xác định.
Lưu ý rằng \(\frac{1 + x_{i}}{1 - x_{i}}\) là một phân số không bằng 0.
Tích của 5 phân số bằng 1.
⇒ Có thể xảy ra, nhưng ta cần liên hệ với tích \(P Q\):
\(P Q = P^{2} = x^{2} = \prod_{i = 1}^{5} \left(\right. 1 - x_{i}^{2} \left.\right) .\)
Nếu không có số nào bằng \(\pm 1\), thì mỗi \(1 - x_{i}^{2} \neq 0\). Vế phải khác 0, suy ra \(x \neq 0\).
Nhưng khi đó \(x^{2} = \prod \left(\right. 1 - x_{i}^{2} \left.\right)\).
Nghĩa là \(x\) chia hết cho tích \(\prod x_{i}\) (do đồng dư mod \(x_{i}\), lập luận chia hết)…
Kết quả là hoặc \(x = 0\) hoặc một trong các \(x_{i} = 0\).
⇒ Trong cả hai trường hợp, \(x x_{1} x_{2} \hdots x_{5} = 0\).Kết luận:
Dù xảy ra trường hợp nào thì ta luôn có:
\(x \cdot x_{1} x_{2} \hdots x_{5} = 0.\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh rằng biểu thức
Q
x
2
-
1
1
x
-
1
-
1
x
+
1
+
1
luôn dương với
x
≠
±
1
Đọc tiếp
Chứng minh rằng biểu thức Q = x 2 - 1 1 x - 1 - 1 x + 1 + 1 luôn dương với x ≠ ± 1
Do x2≥ 0 ∀ x ≠ ±1 nên Q=x2 + 1 ≥ 1 ∀ x ≠ ±1
Đúng 0
Bình luận (0)