Bài 3. Cho đường tròn (O,R), đường kính AB. Từ điểm M bất kỳ trên đường tròn vẽ tiếp tuyến cắt 2 tiếp tuyến tại A, B lần lượt tại C và D. a) Chứng minh CD = CA + DB. b/ Chứng minh 𝐶𝑂𝐷 ̂ = 900 . c) Chứng minh AC . BD = R2 . d) Cho 𝑀𝐴𝐵 ̂ = 600 . CM : BDM đều, tính cạnh và S BDM theo R. Bài 4. Cho đường tròn (O,R), M ở ngoài đường tròn sao cho OM=2R. Vẽ tiếp tuyến MA của (O) với A là tiếp điểm. a) OAM là tam giác gì ? Tính cạnh và góc OMA ? b) Kẻ tiếp tuyến MB của (O). Chứng minh OM ⊥ AB. c) Vẽ cát tuyến MEF với đường tròn (O) (E nằm giữa M,F). Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh 5 điểm A, O, I, B, M cùng thuộc một đường tròn. Bài 5. Từ điểm A ở ngoài (O,R) với OA = 2R, vẽ 2 tiếp tuyến AB và AC. a) Chứng minh OA là trung trực của BC. b) Tính AB, AC theo R. c) Chứng minh ABC đều. Tính S ABC . d) Từ 1 điểm M thuộc 𝐵𝐶⏜ nhỏ kẻ tiếp tuyến thứ 3 cắt 2 tiếp tuyến kia tại P và Q. Chứng minh chu vi APQ có giá trị không đổi khi M thuộc 𝐵𝐶⏜ nhỏ.
Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn (O), trên đường tròn (O) lấy một điểm E bất kỳ (E ≠ A; B). Tiếp tuyến tại E của đường tròn (O) cắt Ax và By lần lượt tại C và D.
a. Chứng minh: CD=AC+BD
b. Vẽ EF ⊥ AB tại F, BE cắt AC tại K. Chứng minh: AF.AB=KE.EB
c. EF cắt CB tại I. Chứng minh ΔAFC đồng dạng với ΔBFD suy ra FE là tia phân giác của góc CFD
d. EA cắt CF tại M, EB cắt DF tại N. Chứng minh M, I, N thẳng hàng.
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và M là điểm nằm trên (O). Tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A và B của (O) lần lượt ở C và D. Đường thẳng AM cắt OC tại E, đường thẳng BM cắt OD tại F
a, Chứng minh: C O D ^ = 90 0
b, Tứ giác MEOF là hình gì?
c, Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD
a, Dễ thấy A M B ^ = 90 0 hay E M F ^ = 90 0 tiếp tuyến CM,CA
=> OC ⊥ AM => O E M ^ = 90 0 Tương tự => O F M ^ = 90 0
Chứng minh được ∆CAO = ∆CMO => A O C ^ = M O C ^
=> OC là tia phân giác của A M O ^
Tương tự OD là tia phân giác của B O M ^ suy ra OC ⊥ OD <=> C O D ^
b, Do ∆AOM cân tại O nên OE là đường phân giác đồng thời là đường cao
=> O E M ^ = 90 0 chứng minh tương tự O F M ^ = 90 0
Vậy MEOF là hình chữ nhật
c, Gọi I là trung điểm CD thì I là tâm đường tròn đường kính CD và IO=IC=ID. Có ABDC là hình thang vuông tại A và B nên IO//AC//BD và IO vuông góc với AB. Do đó AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.
Bài 4: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ 2 tiếp tuyến Ax và By. Từ M bất kì trên nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ 3 với nửa đường tròn đó, tiếp tuyến này cắt Ax ở C cắt By ở D.
a) Chứng minh: CD = AC + BD
b) Chứng minh: 
vuông
c) AM cắt OC ở E, BM cắt OD ở F. Chứng minh EF = R
d) Chứng minh: đường tròn đường kính CD nhận AB là tiếp tuyến
e) OM cắt EF ở I. Khi M di động trên cung AB thì I chạy trên đường nào?
f) Tìm vị trị điểm M để diện tích ACDB nhỏ nhất.
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông cân ở C , E là điểm bất kì trên BC. Qua B kẻ tia vuông góc với tia AE tại H và cắt tia AC tại K.
a) Chứng minh: 4 điểm B, H, C, A cùng thuộc một đường tròn
b) Chứng minh: KC. KA = KH. KB
c) Khi E chuyển động trên BC thì tổng (BE. BC + AE. AH) có giá trị không đổi
Bài 6: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Hai điểm CD thuộc nửa đường tròn sao cho góc COD = 900 (C 
thuộc cung AD). M là 1 điểm bất kỳ trên nửa đường tròn sao cho AC = CM các dây AM, BM cắt OC, OD tại E, F.
a) Tứ giác OEMF là hình gì?
b) Kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn tại M cắt tia OC, OD tại I, K. Chứng minh tia IA là tia tiếp tuyến của đường tròn (O)
b) bài 4 là chứng minh tam giác COD vuông
Bài 5:
a: Xét tứ giác BHCA có \(\widehat{BHA}=\widehat{BCA}=90^0\)
nên BHCA là tứ giác nội tiếp
=>B,H,C,A cùng thuộc một đường tròn
b: Xét ΔKHA vuông tại H và ΔKCB vuông tại C có
\(\widehat{HKA}\) chung
Do đó: ΔKHA đồng dạng với ΔKCB
=>\(\dfrac{KH}{KC}=\dfrac{KA}{KB}\)
=>\(KH\cdot KB=KA\cdot KC\)
c: Gọi giao điểm của KE với BA là M
Xét ΔKBA có
AH,BC là các đường cao
AH cắt BC tại E
Do đó: E là trực tâm của ΔKBA
=>KE\(\perp\)BA tại M
Xét ΔBME vuông tại M và ΔBCA vuông tại C có
\(\widehat{MBE}\) chung
Do đó: ΔBME đồng dạng với ΔBCA
=>\(\dfrac{BM}{BC}=\dfrac{BE}{BA}\)
=>\(BM\cdot BA=BC\cdot BE\)
Xét ΔAME vuông tại M và ΔAHB vuông tại H có
\(\widehat{MAE}\) chung
Do đó: ΔAME đồng dạng với ΔAHB
=>\(\dfrac{AM}{HA}=\dfrac{AE}{AB}\)
=>\(AH\cdot AE=AM\cdot AB\)
\(BC\cdot BE+AH\cdot AE=BM\cdot BA+AM\cdot AB=AB^2\) không đổi
Cho nửa đường tròn tâm O bán kính R, đường kính AB. Kẻ các tiếp tuyến Ax, By cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba với đường tròn, tiếp tuyến này cắt Ax và By lần lượt tại C và D.
a) Chứng minh OC vuông góc AM và AM song song OD
b) chứng minh AC.BD = R^2
c) Chứng minh AB là tiếp tuyến đường tròn đường kính CD
d) Gọi K là giao điểm của AD và BC. Chứng minh MK vuông góc AB
a: Xét (O) có
CA,CM là tiếp tuyến
nênCA=CM và OC là phân giác của góc AOM(1)
mà OA=OM
nên OC là trung trực của AM
=>OC vuông góc với AM
Xét (O) có
DM,DB là tiếp tuyến
nên DM=DB và OD là phân giác của góc MOB(2)
Xét (O)có
ΔAMB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAMB vuông tại M
=>MB vuông góc MA
=>MB//OC
b: Từ (1), (2) suy ra góc COD=1/2*180=90 độ
=>OC vuông góc với OD
mà OM vuông góc DC
nên MC*MD=OM^2
=>AC*BD=R^2
c: Gọi H là trung điểm của CD
Xét hình thang ABDC có
H,O lần lượtlà trung điểm của CD,AB
nên HO là đường trung bình
=>HO//AC//BD
=>HO vuông góc với AB
=>AB là tiếp tuyến của (H)
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Điểm M nằm trên nửa đường tròn (M # A; B). Tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) lần lượt tại C và D.
a) Chứng minh rằng tứ giác ACMO nội tiếp
b) Chứng minh rằng góc CAM bằng góc ODM
c) Gọi E là giao điểm của AM và BD; F là giao điểm của AC và BM. P là giao điểm của BA và DC. Chứng minh E; F; P thẳng hàng
a: Xét tứ giác ACMO có
\(\widehat{CAO}+\widehat{CMO}=180^0\)
Do đó: ACMO là tứ giác nội tiếp
b:
Xét tứ giác DMOB có
\(\widehat{DMO}+\widehat{DBO}=180^0\)
Do đó: DMOB là tứ giác nội tiếp
Suy ra: \(\widehat{ODM}=\widehat{OBM}\)
mà \(\widehat{OBM}=\widehat{CAM}\left(=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{AM}\right)\)
nên \(\widehat{CAM}=\widehat{ODM}\)
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Điểm M nằm trên nửa đường tròn (M ≠ A; B). Tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) lần lượt tại C và D.
a) Chứng minh rằng tứ giác ACMO nội tiếp
b) Chứng minh rằng góc CAM bằng góc ODM
c)gọi P là giao điểm của CD và AB . Chứng minh PA.PO=PC.PM
a: góc OAC+góc OMC=180 độ
=>OACM nội tiếp
b: OACM nội tiếp
=>góc CAM=góc COM=góc DOM=góc ODM
cho đường tròn O đường kính AB . trên tiếp tuyến tại A của đường tròn O lấy điểm C. vẽ tiếp tuyến CN và cát tuyến CDE ( tia CD nằm giữa CA,CO . D,E thuộc đường tròn O , D nằm giữa C và E) . tia CO cắt BD và AN lần lượt tại M và H
A/ chứng minh CA^2 = CD.CE và CD.CE= CH. CO
b chứng minh tứ giác CMND nội tiếp
c/ gọi F là giao điểm của AM và đường tròn O ( F khác A ) . chứng minh ba điểm E,O,F thẳng hàng
thankkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk
bạn tham khảo ở đây nha,mình từng giải rồi
https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-duong-tron-o-duong-kinh-ab-tren-tiep-tuyen-tai-a-cua-duong-trong-o-lay-diem-c-ve-tuyep-tuyen-cn-va-cat-tuyen-cde-tia-cd-nam-giua-2-tai-ca-co-de-thuoc-duong-tron-o-d-nam-giua-c-va-e.1081799079177
Cho đường tròn (O) đường kính BC, từ điểm A bất kì nằm trên đường tròn ( A khác B,C ) vẽ tiếp tuyến với đường tròn, tiếp tuyến này cắt 2 tiếp tuyết tại B và C của đường tròn lần lượt tại M và N. Chứng minh OM // AC
ta có na=nc => n thuộc trung trực của ac
ta có: oa=oc => o thuộc trung trực của ac
suy ra: on là trung trực của ac => on vuông góc với ac
ta có mo vuông góc với on ( tính chất tia phân giác của 2 góc kề bù )
Suy ra: om//ac (cùng vuông góc với on)
