a: ΔOCD cân tại O

mà OI là đường cao

nên I là trung điểm của DC

Xét ΔBCD có

BI là đường cao

BI là trung tuyến

nên ΔBCD cân tại B

=>BC=BD

Xét tứ giác OCBD có

I là trug điểm chung của OB và CD

=>OCBD là hình bình hành

=>CO//BD và OC=BD

mà OC=OD

nên OCBD là hình thoi

=>CB=OC=AE

Xét tứ giác AECO có

OC//AE

EC//AO

=>AECO là hình bình hành

=>AE=OC=BC

=>AE=BC=BD

b: EC//AB

AB vuông góc CD

=>EC vuông góc DC

=>E,C,D nằm trên đường tròn đường kính ED

=>O là trung điểm của ED

=>E,O,D thẳng hàng

c: Xét tứ giác ADBE có

AB cắt DE tại trung điểm của mỗi đường

AB=DE
=>ADBE là hình chữ nhật

Giải: 

a: Sửa đề: Chứng minh AE=BC=BD

Xét tứ giác ABCE có AB//CE

nên ABCE là hình thang

=>\(\widehat{AEC}+\widehat{EAB}=180^0\left(1\right)\)

Xét (O) có A,E,C,B cùng thuộc đường tròn

nên AECB là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{AEC}+\widehat{CBA}=180^0\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{EAB}=\widehat{CBA}\)

Xét hình thang AECB có \(\widehat{EAB}=\widehat{CBA}\)

nên AECB là hình thang cân

=>AE=CB

Ta có: ΔOCD cân tại O

mà OI là đường cao

nên I là trung điểm của CD

Xét ΔBCD có

BI là đường cao

BI là đường trung tuyến

Do đó: ΔBCD cân tại B

=>BC=BD

=>AE=CB=BD

b: Ta có: EC//AB

CD\(\perp\)AB

Do đó: EC\(\perp\)CD

=>ΔECD vuông tại C

=>ΔECD nội tiếp đường tròn đường kính ED

mà ΔECD nội tiếp (O)

nên O là trung điểm của ED

=>E,O,D thẳng hàng

c: Xét tứ giác ADBE có

O là trung điểm chung của AB và DE

=>ADBE là hình bình hành

Hình bình hành ADBE có AB=DE

nên ADBE là hình chữ nhật

Đề bài sai ở câu a, chắc chắn AB>BC, em coi lại đề là \(AB=BC=BD\) hay \(AE=BC=BD\)

Hình vẽ

Thọ tested! h heeeee

\(\sqrt{2222}\)

\(\dfrac{1}{22}\)

Giải :

a) Xét (O) có PM // AB

⇒ 2 cung AP và BM bị chắn bởi 2 dây trên sẽ bằng nhau. 

mà BM = BN ( △ BMN cân tại B vì có BE vừa là đ/c, đường trung tuyến △)

⇒ cung BM = cung BN

⇒ cung AP = cung BN

b) Xét (O) có OI đi qua điểm chính giữa của PM (gt)

⇒ OI vuông góc với dây PM tại K

⇒góc OKM = 90 độ.

Xét tứ giác OKME có 3 góc vuông : góc OKM = 90 độ (cmt),

góc MEO = 90 độ ( MN vuông góc với OB tại E

 góc EMK = 90 độ ( vì PM//AB, AB vuông góc với MN ⇒ PM vuông góc với MN tại M )

⇒ OKME là hcn

c) Ta có : góc OPI = góc NOE  ( vì 2 góc đông vị, MP//AB)

mà góc OPI + góc POI = 90 độ ( △POK vuông tại K )

⇒góc NOE + góc POI = 90 độ

⇒ góc NOE + góc POI + góc IOE = 90 + 90 = 180 độ

⇒ P,O,N thẳng hàng

- Xét △ PMN có KE đường TB ( K trđ PM, E trđ MN )

⇒ KE//PN

a)  CÓ PM //AB 

=> CUNG AP= CUNG MB ( TÍNH CHẤT) (1)

MÀ CM ĐƯỢC B LÀ ĐIỂM CHÍNH GIỮA CUNG MN => CUNG MB=CUNG NB (2)

TỪ (1) (2) => CUNG AP= CUNG NB 

b)  CM ĐƯỢC KME=90 ĐỘ ( VÌ PM //AB MÀ AB VUÔNG GÓC MN )

VÌ I LÀ ĐIỂM CHÍNH GIỮA CUNG PM => OI VUÔNG GÓC PM TẠI K => OKM = 90 ĐỘ 

TỨ GIÁC OKME CÓ OKM=KME=MEO=90 ĐỘ => TỨ GIÁC OKME LÀ HÌNH CHỮ NHẬT 

c) CHỨNG MINH ĐƯỢC KE LÀ ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC PMN => KE // PN 

MẶT KHÁC CÓ OK=ME=NE MÀ NE//OK (CÙNG VUÔNG GÓC AB )

=> TỨ GIÁC OKNE LÀ HÌNH BÌNH HÀNH => KE//ON 

CÓ KE//ON MÀ KE//PN NÊN PN TRÙNG ON => O, P, N THẲNG HÀNG 

a: Xét (O) có

ΔBCD nội tiếp

BD là đường kính

=>ΔBCD vuông tại C

=>CD//OA

b: ΔOBC cân tại O

mà OA là đường cao

nên OA là phân giác của góc BOC

Xét ΔOBA và ΔOCA có

OB=OC

góc BOA=góc COA

OA chung

=>ΔOBA=ΔOCA

=>góc OCA=90 độ

=>AC là tiêp tuyến của (O)