a)

b)Từ \(xyz=1\Rightarrow x=\frac{1}{zy};y=\frac{1}{xz};z=\frac{1}{xy}\)

\(M=\frac{z^2y^2}{x\left(z+y\right)}+\frac{x^2z^2}{y\left(x+z\right)}+\frac{x^2y^2}{z\left(x+y\right)}\)

\(\ge\frac{\left(xy+yz+xz\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)}=\frac{xy+yz+xz}{2}\)(Bđt Cauchy-Schwarz)

\(\ge\frac{3\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}}{2}=\frac{3}{2}\)(Bđt Cosi)

Dấu = khi \(x=y=z=1\)

a) Gọi 5 số là: \(a_0,a_1,a_2,a_3,a_4\)

Lấy \(T_0=a_0\)

      \(T_1=a_0+a_1\)

     \(T_2=a_0+a_1+a_2\)

    \(T_3=a_0+a_1+a_2+a_3\)

    \(T_4=a_0+a_1+a_2+a_3+a_4\)

Trong 5 số: \(T_0,T_1,T_2,T_3,T_4\) có 2 trường hợp sau xảy ra:

TH1: Tồn tại 1 số \(T_i\) chia hết cho 5 => Điều phải chứng minh

TH2: Không có số nào chia hết cho 5 => Trong 5 số đó có 2 số khi chia cho 5 có cùng một số dư (theo nguyên lí Direchlet, vì 5 số đều không chia hết cho 5 nên khi chia cho 5 sẽ cho 4 số dư là {1, 2, 3,4}). Giả sử \(T_i\) và \(T_j\)(với i < j) chia cho 5 có cùng số dư => Hiệu \(T_j-T_i\) chia hết cho 5. Mà hiệu \(T_j-T_i=a_{i+1}+a_{i+2}+...+a_j\) chia hết cho 5 => Điều phải chứng minh.

thx ban

Để \(\frac{2a+2b}{ab+1}\) là bình phương của 1 số nguyên thì 2a + 2b chia hết cho ab + 1; mà ab + 1 chia hết cho 2a + 2b => ab + 1 = 2b + 2a
=> \(\frac{2a+2b}{ab+1}\)=1 = 1²

BN THAM KHẢO:

Số chính phương khi chia 3 chỉ dư 0 hoặc 1.

Trường hợp 1: 

\(a^2\equiv1\left(mod3\right);b^2\equiv0\left(mod3\right)\Leftrightarrow a^2+b^2\equiv1\left(mod3\right)\)(loại)

Trường hợp 2: 

\(a^2\equiv1\left(mod\right)3;b^2\equiv1\left(mod3\right)\Leftrightarrow a^2+b^2\equiv2\left(mod3\right)\)(loại)

Trường hợp 3: 

\(a^2\equiv0\left(mod3\right);b^2\equiv0\left(mod3\right)\Leftrightarrow a^2+b^2\equiv0\left(mod3\right)\) ( thỏa mãn )

Vậy có đpcm.

Giải:

Giả sử a không ⋮ 3 ➩ b không ⋮ 3

➩\(a^2 - 1 + b^2-1\) ⋮ 3

Mà \(a^2 +b^2\)➩2⋮ 3 (không có thể)

Vậy ➩a và b ⋮ 3.

Giả sử a và b cùng chia hết cho 5

\(24a^2+1=b^2\)

\(24a^2⋮5\)

\(b^2⋮5\)

\(\Rightarrow1⋮5\)( vô lí)

Vậy ko thể có TH a và b cũng chia hết cho 5

m.n/(m^2+n^2 ) và m.n/2018
- Đặt (m,n)=d => m= da;n=db ; (a,b)=1
=> d^2(a^2+b^2)/(d^2(ab))  = (a^2+b^2)/(ab) => b/a ; a/b => a=b=> m=n=> ( 2n^2+2018)/n^2 =2 + 2018/n^2 => n^2/2018
=> m=n=1 ; lẻ và nguyên tố cùng nhau. vì d=1

Vẽ SH _I_ (ABCD) => H là trung điểm AD => CD _I_ (SAD) 
Vẽ HK _I_ SD ( K thuộc SD) => CD _I_ HK => HK _I_ (SCD) 
Vẽ AE _I_ SD ( E thuộc SD). 
Ta có S(ABCD) = 2a² => SH = 3V(S.ABCD)/S(ABCD) = 3(4a³/3)/(2a²) = 2a 
1/HK² = 1/SH² + 1/DH² = 1/4a² + 1/(a²/2) = 9/4a² => HK = 2a/3 
Do AB//CD => AB//(SCD) => khoảng cách từ B đến (SCD) = khoảng cách từ A đến (SCD) = AE = 2HK = 4a/3