Cho 3 số dương a,b,c có tổng bằng 1. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= 1/ab+bc+ac
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn \(ac\ge12,bc\ge8\). Tìm giá trị nhỏ nhất (nếu có) của biểu thức:
\(D=a+b+c+2\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)+\dfrac{8}{abc}\)
Dự đoán điểm rơi xảy ra tại \(\left(a;b;c\right)=\left(3;2;4\right)\)
Đơn giản là kiên nhẫn tính toán và tách biểu thức:
\(D=13\left(\dfrac{a}{18}+\dfrac{c}{24}\right)+13\left(\dfrac{b}{24}+\dfrac{c}{48}\right)+\left(\dfrac{a}{9}+\dfrac{b}{6}+\dfrac{2}{ab}\right)+\left(\dfrac{a}{18}+\dfrac{c}{24}+\dfrac{2}{ac}\right)+\left(\dfrac{b}{8}+\dfrac{c}{16}+\dfrac{2}{bc}\right)+\left(\dfrac{a}{9}+\dfrac{b}{6}+\dfrac{c}{12}+\dfrac{8}{abc}\right)\)
Sau đó Cô-si cho từng ngoặc là được
cho a,b,c là các số thực dương có tổng bằng 1. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức p=1/a+1/b+1/c
Theo BĐT Cauchy Schwarz
\(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=9\)
Dấu ''='' xảy ra khi a = b = c = 1/3
1.Cho 3 số dương a,b,c. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}+\dfrac{19c^3-b^3}{bc+5c^2}+\dfrac{19a^3-c^3}{ac+5a^2}\)≤ 3(a+b+c)
2.cho a,b,c dương thỏa man: a2+b2+c2=1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=\(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}+\dfrac{ab}{c}\)
cho các số dương a,b,c có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=a+b/abc
Cho 3 số dương a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=a^2+b^2+c^2+2abc+\frac{18}{ab+bc+ac}\)
Trước tiên ta cần chứng minh :
\(a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
Trong 3 số : \(\hept{\begin{cases}a-1\\b-1\\c-1\end{cases}}\) sẽ có ít nhất 2 số cùng dấu
Giả sử hai số đó là : \(a-1,b-1\)
\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)
\(\Rightarrow2c\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)
\(\Rightarrow2abc\ge2\left(ac+bc-c\right)\)
Giờ ta cần chứng minh : \(a^2+b^2+c^2+2\left(ac+bc-c\right)+1\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow b^2-2ab+a^2+c^2-2c+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(b-a\right)^2+\left(c-1\right)^2\ge0\) ( đúng )
\(\Rightarrow\) ta có đpcm
Quay lại bài toán ban đầu ta có :
\(P=a^2+b^2+c^2+2abc+\frac{18}{ab+bc+ac}\ge2\left(ab+bc+ca\right)-1+\frac{18}{ab+bc+ca}\)
\(\ge2.2.3\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{ab+bc+ca}}-1=11\)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Chúc bạn học tốt !!!
Vai trò của a, b, c là bình đẳng, không mất tính tổng quát, giả sử \(c=min\left\{a,b,c\right\}\)
Ta có BĐT quen thuộc sau: \(a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
Có: \(VT-VP=\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\left(a+b+2\sqrt{ab}-2c\right)+\left(c-1\right)^2+2c\left(\sqrt{ab}-1\right)^2\ge0\)(vì \(c=min\left\{a,b,c\right\}\))
Từ đó \(P\ge2\left(ab+bc+ca\right)+\frac{18}{ab+bc+ca}-1\)
\(\ge2\sqrt{2\left(ab+bc+ca\right).\frac{18}{ab+bc+ca}}-1=11\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Hoàng Việt Nhật: Trả lời kiểu gì mà nhanh vậy, t mất 3 phút để nhớ lại cái BĐT phụ này.
cho ba số thực dương a b c thỏa mãn ab+bc+ac≤1. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P biết:
P= \(\dfrac{1}{\sqrt{a^2+b^2-abc}}+\dfrac{1}{\sqrt{a^2+c^2-abc}}+\dfrac{1}{\sqrt{c^2+b^2-abc}}\)
Có ba số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\(\frac{9}{2\left(ab+bc+ac\right)}+\frac{2}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\frac{9}{2\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{2}{a^2+b^2+c^2}\)
\(=\frac{1}{2\left(ab+bc+ca\right)}+2.\left(\frac{4}{2\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\right)\)
\(\ge\frac{1}{2.\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}+2.\frac{\left(2+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(=\frac{1}{2.\frac{1}{3}}+2.\frac{9}{1}=\frac{39}{2}\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Cho a,b,c là các số thực dương có tổng bằng 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\left|\dfrac{1}{a}-1\right|+\left|\dfrac{1}{b}-1\right|+\left|\dfrac{1}{c}-1\right|\)
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\dfrac{9}{2\left(ab+bc+ac\right)}+\dfrac{2}{a^2+b^2+c^2}\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(P=2(\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2})+\frac{1}{2(ab+bc+ac)}\\
\geq 2.\frac{9}{2(ab+bc+ac)+a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{2(ab+bc+ac)}\\
=\frac{18}{(a+b+c)^2}+\frac{1}{2(ab+bc+ac)}\\
=18+\frac{1}{2(ab+bc+ac)}\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
$2(ab+bc+ac)\leq 2.\frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{2}{3}$
$\Rightarrow \frac{1}{2(ab+bc+ac)}\geq \frac{3}{2}$
$\Rightarrow P\geq 18+\frac{3}{2}=\frac{39}{2}$
Vậậy $P_{\min}=\frac{39}{2}$ khi $a=b=c=\frac{1}{3}$