a.\(\left(a+b\right)^3+\left(a-b\right)^3=2a\left(a^2+3b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+a^3-3a^2b+3ab^2-b^3-2a^3-6ab^2=o\)

\(\Leftrightarrow0=0\)(đpcm)

b.\(\left(a+b\right)^3-\left(a-b\right)^3=2b\left(b^2+3a^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^3+3a^2b+3ab^2+b^3-a^3+3a^2b-3ab^2+b^3-2b^3-6a^2b=o\)

\(\Leftrightarrow0=0\)luôn đúng

Vậy đẳng thức được chứng minh

\(\dfrac{4}{a+b}-\dfrac{2a^2+3b^2}{2a^3+3b^3}-\dfrac{2b^2+3a^2}{2b^3+3a^3}=\dfrac{\left(a-b\right)^2.\left(12b^4+12ab^3-a^2b^2+12a^3b+12a^4\right)}{\left(a+b\right)\left(2a^3+3b^3\right)\left(2b^3+3a^3\right)}\ge0\)

PS: Còn cách dùng holder nữa mà lười quá

holder Câu hỏi của Lê Minh Đức - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

a^3/b +a^3/b +b^2 >=3.a^2 
=>2a^3/b +b^2>=3a^2 
tuong tu 
2b^3/c +c^2 >=3.b^2 
2c^3/a +a^2 >=3.c^2 
cog lai ta dc 
2(a^3/b+b^3/c+c^3/a) +(a^2+b^2+c^2) >=3.(a^2+b^2+c^2) 
=>a^3/b+b^3/c+c^3/a >=a^2+b^2+c^2 
mat khc 
a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca 
nen 
a^3/b+b^3/c+c^3/a >=ab+bc+ca 
dau = xay ra khi a=b=c

k nha

a^3/b +a^3/b +b^2 >=3.a^2 
=>2a^3/b +b^2>=3a^2 
tuong tu 
2b^3/c +c^2 >=3.b^2 
2c^3/a +a^2 >=3.c^2 
cog lai ta dc 
2(a^3/b+b^3/c+c^3/a) +(a^2+b^2+c^2) >=3.(a^2+b^2+c^2) 
=>a^3/b+b^3/c+c^3/a >=a^2+b^2+c^2 
mat khc 
a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca 
nen 
a^3/b+b^3/c+c^3/a >=ab+bc+ca 
dau = xay ra khi a=b=c

a) a > b

⇒ 2a > 2b (nhân hai vế với 2 > 0)

⇒ 2a - 3 > 2b - 3 (cộng hai vế với -3)

b) a < b

⇒ -3a > -3b (nhân hai vế với -3 < 0)

⇒ -3a + 2 > -3b + 2 (1) (cộng hai vế với 2)

5 > 2

⇒ -3a + 5 > -3a + 2 (2) (cộng hai vế với -3a)

Từ (1) và (2) ⇒ -3a + 5 > -3b + 2

Ta có: \(\frac{2a^2+3b^2}{2a^3+3b^3}\left(a+b\right)=1+ab\frac{2a+3b}{2a^3+3b^3}\)

Áp dụng BĐT Holder ta có: 

\(\left(2a^3+3b^3\right)\left(2+3\right)^2\ge\left(2a+3b\right)^3\)

Vậy ta có thể viết lại BĐT cần chứng minh như sau;

\(VT\left(a+b\right)\le2+25ab\left(\frac{1}{\left(2a+3b\right)^2}+\frac{1}{\left(2b+3a\right)^2}\right)\)

Nó đủ để ta có thể thấy rằng 

\(25ab\left[\left(2b+3a\right)^2+\left(2a+3b\right)^2\right]\le2\left(2a+3b\right)^2\left(2b+3a\right)^2\)

\(\Leftrightarrow59\left(a^2-b^2\right)^2+13\left(a^4+b^4-a^3b-ab^3\right)\ge0\)

BĐT cuối cùng đúng nên ta có ĐPCM

ok jjj

Đặt \(\frac{a}{b}=t\)do a>0, b>0 nên t>0

Khi đó BĐT \(\frac{2a^2+3b^2}{2a^3+3b^3}+\frac{2b^2}{3b^3}+\frac{2b^2+3a^2}{2b^3+3a^2}\le\frac{4}{a+b}\left(1\right)\)trở thành

\(\frac{2t^2+3}{2t^3+3}+\frac{2+3t^2}{3+3t^3}\le\frac{4}{t+1}\)

\(\Leftrightarrow\left(2t^2+3\right)\left(2+3t^2\right)\left(t+1\right)+\left(2+3t^2\right)\left(2t^2+1\right)\left(t+1\right)\le4\left(2t^3+3\right)\left(2+3t^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(t+1\right)\left(12t^5+13t^3+13t^2+12\right)\le4\left(6t^6+13t^3+6\right)\)

\(\Leftrightarrow12\left(t^6-t^5-t+1\right)-13t^2\left(t^2-12t+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow12\left(t-1\right)^2\left[12\left(t^4+t^3+t^2+t+1\right)-13t^2\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)^2\left[12\left(t^4+t^3+t^2+t+1\right)-13t^2\right]\ge0\left(2\right)\)

Ta có \(12\left(t^4+t^3+t^2+t+1\right)-13t^2=12t^4+12t\left(t-1\right)^2+23t^2+12>0\forall t>0\)

BĐT (2) đúng với mọi t>0

=> BĐT (1) đúng với mọi a,b>0

Dấu "=" xảy ra <=> t=1 <=> a=b